Question

如圖，AB為半圓O的直徑，OC⊥AB交⊙O于C，P為BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，D為AP中點(diǎn)，DE⊥PA，交半徑OC于E，連CD．下列結(jié)論：①PE⊥AE；②DC=DE；③∠OEA=∠APB；④PC+CE為定值．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

D
分析：①根據(jù)三角形外心的定義得到點(diǎn)E是△ABP的外心，然后利用同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半可以證明PE⊥AE．②根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及①的結(jié)論，可以知道點(diǎn)C和點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心的同一個(gè)圓上，得到DC=DE．③根據(jù)垂徑定理得到∠AEO=∠AEB，然后用圓周角定理得到∠APB=∠AEO．④利用③的結(jié)論，結(jié)合圖形，在直角三角形中用余弦進(jìn)行計(jì)算得到PC+CE=OC，是圓的半徑的倍，是一個(gè)定值．
解答：解：①如圖：∵點(diǎn)D是AP的中點(diǎn)，且DE⊥AP，∴DE是AP的垂直平分線，
又AB是半⊙O的直徑，OC⊥AB，∴OC是AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)E是△ABP的外心，
∵∠ABC=45°，∴∠AEP=90°（同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半）
∴PE⊥AE，故①正確．
②∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ACB=90°=∠ACP=∠AEP，
∴點(diǎn)C和點(diǎn)E在以點(diǎn)D為圓心的同一個(gè)圓上，∴DC=DE，故②正確．
③由①知點(diǎn)E是△ABP的外心，∴∠APB=∠AEB=∠AEO，故③正確．
④在直角△APC中，PC=AP•cos∠APC=AE•cos∠AE0=AE•=OE，
∴PC+CE=OE+CE=（OE+CE）=OC，
∴PC+CE為定值，是⊙O半徑的倍．故④正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理的綜合運(yùn)用，結(jié)合圖形，利用圓周角定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，作出正確的判斷．