Question

【題目】閱讀材料：“最值問(wèn)題”是數(shù)學(xué)中的一類較具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題．其實(shí)，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事，如下即為其中較為經(jīng)典的一則：海倫是古希臘精通數(shù)學(xué)、物理的學(xué)者，相傳有位將軍曾向他請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題﹣﹣如圖1，從A點(diǎn)出發(fā)，到筆直的河岸l去飲馬，然后再去B地，走什么樣的路線最短呢？海倫輕松地給出了答案：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB＝A′B 的值最�。�

解答問(wèn)題：

（1）如圖2，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PC的最小值；

（2）如圖3，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠DAB＝60°．將此菱形放置于平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度，沿A→C的方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到x軸上某一點(diǎn)M時(shí)，立即以每秒1個(gè)單位的速度，沿M→B的方向，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)B時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止．

①為使點(diǎn)P能在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處，則點(diǎn)M的位置應(yīng)如何確定？

②在①的條件下，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△PAB的面積為S，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）PA+PC的最小值是2；（2）①點(diǎn)M的位置是（，0）時(shí)，用時(shí)最少；②S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是當(dāng)3＜t≤4時(shí)，S＝18﹣3t；當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S＝3t．當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S＝﹣3t+18．

【解析】

（1）延長(zhǎng)AO交圓O于M，連接CM交OB于P，連接AC，AP+PC＝PC+PM＝CM最��；

（2）①根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度不同以及運(yùn)動(dòng)距離，得出當(dāng)PB⊥AB時(shí)，點(diǎn)P能在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處；

②根據(jù)三角形的面積公式求出從A到C時(shí)，s與t的關(guān)系式和從C到（，0）以及到B的解析式．

解：（1）延長(zhǎng)AO交圓O于M，連接CM交OB于P，連接AC，

則此時(shí)AP+PC＝PC+PM＝CM最小，

∵AM是直徑，∠AOC＝60°，

∴∠ACM＝90°，∠AMC＝30°，

∴AC＝AM＝2，AM＝4，由勾股定理得：CM＝＝2．

答：PA+PC的最小值是2．

（2）①根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度，沿A→C的方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．當(dāng)?shù)竭_(dá)點(diǎn)C后，立即以相同的速度返回，返回途中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到x軸上某一點(diǎn)M時(shí)，立即以每秒1個(gè)單位的速度，沿M→B的方向，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，即為使點(diǎn)P能在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)點(diǎn)B處，

∴當(dāng)PB⊥AB時(shí)，根據(jù)垂線段最短得出此時(shí)符合題意，

∵菱形ABCD，AB＝6，∠DAB＝60°，

∴∠BAO＝30°，AB＝AD，AC⊥BD，

∴△ABD是等邊三角形，

∴BD＝6，BO＝3，由勾股定理得：AO＝3，

在Rt△APB中，AB＝6，∠BAP＝30°，BP＝AP，由勾股定理得：AP＝4，BP＝2，

∴點(diǎn)M的位置是（，0）時(shí)，用時(shí)最少．

②當(dāng)0＜t≤3時(shí)，AP＝2t，

∵菱形ABCD，

∴∠OAB＝30°，

∴OB＝AB＝3，

由勾股定理得：AO＝CO＝3，

∴S＝AP×BO＝×2t×3＝3t；

③當(dāng)3＜t≤4時(shí)，AP＝6﹣（2t﹣6）＝12﹣2t，

∴S＝AP×BO＝×（12﹣2t）×3＝18﹣3t．

當(dāng)4＜t≤6時(shí)，

S＝AB×BP＝×6×[2﹣（t﹣4）]＝﹣3t+18，

答：S與t之間的函數(shù)關(guān)系式是當(dāng)3＜t≤4時(shí)，S＝18﹣3t；當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S＝3t．當(dāng)4＜t≤6時(shí)，S＝﹣3t+18．