【題目】如圖,已知∠DAC90°,ABC是等邊三角形,點P為射線AD上任意一點(點P與點A不重合),連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連接QB并延長交直線ADE

1)如圖1,猜想∠QEP   ;

2)如圖2,若當∠DAC是銳角時,其他條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),并證明;

3)如圖3,若∠DAC135°,∠ACP15°,且AC6,求BQ的長.

【答案】160°;(2)∠QEP60°.證明見解析;(3BQ33

【解析】

1)如圖1,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠PCA=QCB,進而可利用SAS證明△CQB≌△CPA,進而得∠CQB=CPA,再在△PEM和△CQM中利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠QEP=QCP,從而完成猜想;

2)以∠DAC是銳角為例,如圖2,仿(1)的證明思路利用SAS證明△ACP≌△BCQ,可得∠APC=Q,進一步即可證得結(jié)論;

3)仿(2)可證明△ACP≌△BCQ,于是AP=BQ,再求出AP的長即可,作CHADH,如圖3,易證∠APC=30°,△ACH為等腰直角三角形,由AC=4可求得CH、PH的長,于是AP可得,問題即得解決.

解:(1)QEP=60°;

證明:連接PQ,如圖1,由題意得:PC=CQ,且∠PCQ=60°

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠ACB=60°

∴∠PCA=QCB,

則在△CPA和△CQB中,

∴△CQB≌△CPA(SAS),

∴∠CQB=CPA,

又因為△PEM和△CQM中,∠EMP=CMQ,

∴∠QEP=QCP=60°

故答案為:60°;

(2)QEP=60°

證明:如圖2,∵△ABC是等邊三角形,

AC=BC,∠ACB=60°,

∵線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,

CP=CQ,∠PCQ=60°,

∴∠ACB+BCP=BCP+PCQ

即∠ACP=BCQ,

在△ACP和△BCQ中,

∴△ACP≌△BCQ(SAS),

∴∠APC=Q

∵∠1=2,

∴∠QEP=PCQ=60°;

(3)連結(jié)CQ,作CHADH,如圖3,

(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ,

AP=BQ,

∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,

∴∠APC=30°,∠CAH=45°

∴△ACH為等腰直角三角形,

AH=CH=AC=×4=,

RtPHC中,PH=CH=,

PA=PHAH=

BQ=

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轎車行駛的路程s(km)

0

100

200

300

400

油箱剩余油量Q(L)

50

42

34

26

18

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