【題目】如圖,已知∠DAC=90°,△ABC是等邊三角形,點P為射線AD上任意一點(點P與點A不重合),連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,連接QB并延長交直線AD于E.
(1)如圖1,猜想∠QEP= ;
(2)如圖2,若當∠DAC是銳角時,其他條件不變,猜想∠QEP的度數(shù),并證明;
(3)如圖3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=6,求BQ的長.
【答案】(1)60°;(2)∠QEP=60°.證明見解析;(3)BQ=3﹣3.
【解析】
(1)如圖1,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)得出∠PCA=∠QCB,進而可利用SAS證明△CQB≌△CPA,進而得∠CQB=∠CPA,再在△PEM和△CQM中利用三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠QEP=∠QCP,從而完成猜想;
(2)以∠DAC是銳角為例,如圖2,仿(1)的證明思路利用SAS證明△ACP≌△BCQ,可得∠APC=∠Q,進一步即可證得結(jié)論;
(3)仿(2)可證明△ACP≌△BCQ,于是AP=BQ,再求出AP的長即可,作CH⊥AD于H,如圖3,易證∠APC=30°,△ACH為等腰直角三角形,由AC=4可求得CH、PH的長,于是AP可得,問題即得解決.
解:(1)∠QEP=60°;
證明:連接PQ,如圖1,由題意得:PC=CQ,且∠PCQ=60°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∴∠PCA=∠QCB,
則在△CPA和△CQB中,
,
∴△CQB≌△CPA(SAS),
∴∠CQB=∠CPA,
又因為△PEM和△CQM中,∠EMP=∠CMQ,
∴∠QEP=∠QCP=60°.
故答案為:60°;
(2)∠QEP=60°.
證明:如圖2,∵△ABC是等邊三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∵線段CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CQ,
∴CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ,
即∠ACP=∠BCQ,
在△ACP和△BCQ中,
,
∴△ACP≌△BCQ(SAS),
∴∠APC=∠Q,
∵∠1=∠2,
∴∠QEP=∠PCQ=60°;
(3)連結(jié)CQ,作CH⊥AD于H,如圖3,
與(2)一樣可證明△ACP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,
∴∠APC=30°,∠CAH=45°,
∴△ACH為等腰直角三角形,
∴AH=CH=AC=×4=,
在Rt△PHC中,PH=CH=,
∴PA=PHAH=-,
∴BQ=-.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交于點C.點P為拋物線上一動點,過點P作PQ∥BC交拋物線于點Q,P、Q兩點之間的距離為m.
(1)求直線BC的解析式;
(2)取線段BC的中點M,連接PM.當m最小時,判斷以點P、O、M、B為頂點的四邊形是什么特殊的平行四邊形,并說明理由;
(3)設(shè)N為y軸上一點,在(2)的基礎(chǔ)上,當∠OBN=2∠OBP時,求點N的坐標.
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【題目】拋物線y=ax+bx+c上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應(yīng)值如下表:
(1)根據(jù)上表填空:
①拋物線與x軸的交點坐標是______和______;
②拋物線經(jīng)過點(-3,______);
(2)試確定拋物線y=ax2+bx+c的解析式.
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【題目】為了解某品牌轎車的耗油情況,將油箱加滿后進行了耗油試驗,得到如表數(shù)據(jù):
轎車行駛的路程s(km) | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | … |
油箱剩余油量Q(L) | 50 | 42 | 34 | 26 | 18 | … |
(1)該轎車油箱的容量為______L,行駛150km時,油箱剩余油量為______L;
(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù),寫出油箱剩余油量Q(L)與轎車行駛的路程s(km)之間的表達式;
(3)某人將油箱加滿后,駕駛該轎車從A地前往B地,到達B地時郵箱剩余油量為26L,求A,B兩地之間的距離.
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【題目】在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,△AOB的頂點均在格點上.
(1)B點關(guān)于y軸的對稱點坐標為 ;
(2)將△AOB向左平移3個單位長度得到△A1O1B1,請畫出△A1O1B1;
(3)在(2)的條件下,A1的坐標為 .
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)用尺規(guī)作圖作Rt△ABC的重心P.(保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明);
(2)你認為只要知道Rt△ABC哪一條邊的長即可求出它的重心與外心之間的距離?并請你說明理由.
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【題目】如圖,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,AB=11,AC=5,則BE=______________.
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【題目】某校美術(shù)組要購買鉛筆和橡皮,按照商店規(guī)定,若同時購買60支鉛筆和30塊橡皮,則需按零售價購買,共需支付30元;若同時購買90支鉛筆和60塊橡皮,則可按批發(fā)價購買,共需支付40.5元.已知每支鉛筆的批發(fā)價比零售價低0.05元,每塊橡皮的批發(fā)價比零售價低0.10元.求每支鉛筆和每塊橡皮的批發(fā)價各是多少元?
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【題目】在菱形ABCD中,M是BC邊上的點(不與B,C兩點重合),AB=AM,點B關(guān)于直線AM對稱的點是N,連接DN,設(shè)∠ABC,∠CDN的度數(shù)分別為,,則關(guān)于的函數(shù)解析式是_______________________________.
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