Question

（2013•咸寧）為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔．李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈．已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500．
（1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？
（2）設李明獲得的利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元．如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔的總差價最少為多少元？

Answer 1

分析：（1）把x=20代入y=-10x+500求出銷售的件數(shù)，然后求出政府承擔的成本價與出廠價之間的差價；
（2）由利潤=銷售價-成本價，得w=（x-10）（-10x+500），把函數(shù)轉(zhuǎn)化成頂點坐標式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤；
（3）令-10x²+600x-5000=3000，求出x的值，結(jié)合圖象求出利潤的范圍，然后設設政府每個月為他承擔的總差價為p元，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出總差價的最小值．

解答：解：（1）當x=20時，y=-10x+500=-10×20+500=300，
300×（12-10）=300×2=600元，
即政府這個月為他承擔的總差價為600元．

（2）依題意得，w=（x-10）（-10x+500）
=-10x²+600x-5000
=-10（x-30）²+4000
∵a=-10＜0，∴當x=30時，w有最大值4000元．
即當銷售單價定為30元時，每月可獲得最大利潤4000元．

（3）由題意得：-10x²+600x-5000=3000，
解得：x₁=20，x₂=40．
∵a=-10＜0，拋物線開口向下，

∴結(jié)合圖象可知：當20≤x≤40時，w≥3000．
又∵x≤25，
∴當20≤x≤25時，w≥3000．
設政府每個月為他承擔的總差價為p元，
∴p=（12-10）×（-10x+500）
=-20x+1000．
∵k=-20＜0．
∴p隨x的增大而減小，
∴當x=25時，p有最小值500元．
即銷售單價定為25元時，政府每個月為他承擔的總差價最少為500元．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應用的知識點，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)最大值的求解，此題難度不大．