Question

如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長．
（2）問t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)速度為每秒1cm，求出出發(fā)2秒后CP的長，然后就知AP的長，利用勾股定理求得PB的長，最后即可求得周長．
（2）因?yàn)锳B與CB，由勾股定理得AC=4 因?yàn)锳B為5cm，所以必須使AC=CB，或CB=AB，所以必須使AC或AB等于3，有兩種情況，△BCP為等腰三角形．

解答：解：（1）如圖1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，
∴出發(fā)2秒后，則CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB=

22+32

=

13

，
∴△ABP的周長為：AP+PB+AB=2+5+

13

；

（2）①如圖2，若P在邊AC上時(shí)，BC=CP=3cm，
此時(shí)用的時(shí)間為3s，△BCP為等腰三角形；
②若P在AB邊上時(shí)，有三種情況：
i）如圖3，若使BP=CB=3cm，此時(shí)AP=2cm，P運(yùn)動(dòng)的路程為2+4=6cm，
所以用的時(shí)間為6s，△BCP為等腰三角形；
ii）如圖4，若CP=BC=3cm，過C作斜邊AB的高，根據(jù)面積法求得高為2.4cm，
作CD⊥AB于點(diǎn)D，
在Rt△PCD中，PD=1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P運(yùn)動(dòng)的路程為9-3.6=5.4cm，
則用的時(shí)間為5.4s，△BCP為等腰三角形；
ⅲ）如圖5，若BP=CP，此時(shí)P應(yīng)該為斜邊AB的中點(diǎn)，P運(yùn)動(dòng)的路程為4+2.5=6.5cm
則所用的時(shí)間為6.5s，△BCP為等腰三角形；
綜上所述，當(dāng)t為3s、5.4s、6s、6.5s時(shí)，△BCP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，但是此題涉及到了動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于初二學(xué)生來說是個(gè)難點(diǎn)，尤其是第（2）由兩種情況，△BCP為等腰三角形，因此給這道題又增加了難度，因此這是一道難題．