【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線l平行x軸,交y軸于點A,第一象限內的點B在l上,連結OB,動點P滿足∠APQ=90°,PQ交x軸于點C.
(1)當動點P與點B重合時,若點B的坐標是(2,1),求PA的長.
(2)當動點P在線段OB的延長線上時,若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等,求PA:PC的值.
(3)當動點P在直線OB上時,點D是直線OB與直線CA的交點,點E是直線CP與y軸的交點,若∠ACE=∠AEC,PD=2OD,求PA:PC的值.
【答案】
(1)解:∵點P與點B重合,點B的坐標是(2,1),
∴點P的坐標是(2,1).
∴PA的長為2
(2)解:過點P作PM⊥x軸,垂足為M,過點P作PN⊥y軸,垂足為N,如圖1所示.
∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等,
∴OA=AB.
∵∠OAB=90°,
∴∠AOB=∠ABO=45°.
∵∠AOC=90°,
∴∠POC=45°.
∵PM⊥x軸,PN⊥y軸,
∴PM=PN,∠ANP=∠CMP=90°.
∴∠NPM=90°.
∵∠APC=90°.
∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM.
在△ANP和△CMP中,
,
∴△ANP≌△CMP.
∴PA=PC.
∴PA:PC的值為1:1;
(3)解:①若點P在線段OB的延長線上,
過點P作PM⊥x軸,垂足為M,過點P作PN⊥y軸,垂足為N,
PM與直線AC的交點為F,如圖2所示.
∵∠APN=∠CPM,∠ANP=∠CMP,
∴△ANP∽△CMP.
∴ .
∵∠ACE=∠AEC,
∴AC=AE.
∵AP⊥PC,
∴EP=CP.
∵PM∥y軸,
∴AF=CF,OM=CM.
∴FM= OA.
設OA=x,
∵PF∥OA,
∴△PDF∽△ODA.
∴ ,
∵PD=2OD,
∴PF=2OA=2x,F(xiàn)M= x.
∴PM= x.
∵∠APC=90°,AF=CF,
∴AC=2PF=4x.
∵∠AOC=90°,
∴OC= x.
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°,
∴四邊形PMON是矩形.
∴PN=OM= x.
∴PA:PC=PN:PM= x: x= .
②若點P在線段OB的反向延長線上,
過點P作PM⊥x軸,垂足為M,過點P作PN⊥y軸,垂足為N,
PM與直線AC的交點為F,如圖3所示.
同理可得:PM= x,CA=2PF=4x,OC= x.
∴PN=OM= OC= x.
∴PA:PC=PN:PM= x: x= .
綜上所述:PA:PC的值為 或 .
【解析】(1)易得點P的坐標是(2,1),即可得到PA的長.(2)易證∠AOB=45°,由角平分線的性質可得PM=PN,然后通過證明△ANP≌△CMP即可求出PA:PC的值.(3)可分點P在線段OB的延長線上及其反向延長線上兩種情況進行討論.易證PA:PC=PN:PM,設OA=x,只需用含x的代數(shù)式表示出PN、PM的長,即可求出PA:PC的值.
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道定理1:在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等; 定理2:一個角的兩邊的距離相等的點,在這個角的平分線上;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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【題目】如圖1,點P為∠MON的平分線上一點,以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,如果∠APB繞點P旋轉時始終滿足OAOB=OP2 , 我們就把∠APB叫做∠MON的智慧角.
(1)如圖2,已知∠MON=90°,點P為∠MON的平分線上一點,以P為頂點的角的兩邊分別與射線OM,ON交于A,B兩點,且∠APB=135°.求證:∠APB是∠MON的智慧角.
(2)如圖1,已知∠MON=α(0°<α<90°),OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角,連結AB,用含α的式子分別表示∠APB的度數(shù)和△AOB的面積.
(3)如圖3,C是函數(shù)y= (x>0)圖象上的一個動點,過C的直線CD分別交x軸和y軸于A,B兩點,且滿足BC=2CA,請求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A在第一象限,AB∥x軸,AD∥y軸,且對角線的交點與原點O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中,若矩形ABCD的周長始終保持不變,則經(jīng)過動點A的反比例函數(shù)y= (k≠0)中k的值的變化情況是( )
A.一直增大
B.一直減小
C.先增大后減小
D.先減小后增大
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【題目】如圖,汽車在東西向的公路l上行駛,途中A,B,C,D四個十字路口都有紅綠燈.AB之間的距離為800米,BC為1000米,CD為1400米,且l上各路口的紅綠燈設置為:同時亮紅燈或同時亮綠燈,每次紅(綠)燈亮的時間相同,紅燈亮的時間與綠燈亮的時間也相同.若綠燈剛亮時,甲汽車從A路口以每小時30千米的速度沿l向東行駛,同時乙汽車從D路口以相同的速度沿l向西行駛,這兩輛汽車通過四個路口時都沒有遇到紅燈,則每次綠燈亮的時間可能設置為( )
A.50秒
B.45秒
C.40秒
D.35秒
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【題目】為了解某校七,八年級學生的睡眠情況,隨機抽取了該校七,八年級部分學生進行調查,已知抽取七年級與八年級的學生人數(shù)相同,利用抽樣所得的數(shù)據(jù)繪制如下統(tǒng)計圖表.
睡眠情況分組表(單位:時)
組別 | 睡眠時間x |
A | x≤7.5 |
B | 7.5≤x≤8.5 |
C | 8.5≤x≤9.5 |
D | 9.5≤x≤10.5 |
E | x≥10.5 |
根據(jù)圖表提供的信息,回答下列問題:
(1)求統(tǒng)計圖中的a;
(2)抽取的樣本中,八年級學生睡眠時間在C組的有多少人?
(3)已知該校七年級學生有755人,八年級學生有785人,如果睡眠時間x(時)滿足:7.5≤x≤9.5,稱睡眠時間合格,試估計該校七、八年級學生中睡眠時間合格的共有多少人?
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【題目】學了統(tǒng)計知識后,小剛就本班同學上學“喜歡的出行方式”進行了一次調查.圖(1)和圖(2)是他根據(jù)采集的數(shù)據(jù)繪制的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息解答以下問題:
(1)補全條形統(tǒng)計圖,并計算出“騎車”部分所對應的圓心角的度數(shù);
(2)如果全年級共600名同學,請估算全年級步行上學的學生人數(shù);
(3)若由3名“喜歡乘車”的學生,1名“喜歡步行”的學生,1名“喜歡騎車”的學生組隊參加一項活動,欲從中選出2人擔任組長(不分正副),列出所有可能的情況,并求出2人都是“喜歡乘車”的學生的概率.
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【題目】作為寧波市政府民生實事之一的公共自行車建設工作已基本完成,某部門對今年4月份中的7天進行了公共自行車日租車量的統(tǒng)計,結果如圖:
(1)求這7天日租車量的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù);
(2)用(1)中的平均數(shù)估計4月份(30天)共租車多少萬車次;
(3)市政府在公共自行車建設項目中共投入9600萬元,估計2014年共租車3200萬車次,每車次平均收入租車費0.1元,求2014年租車費收入占總投入的百分率(精確到0.1%).
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【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=3,BC=2,點D是邊AB上的動點,過點D作DE∥BC,交邊AC于點E,點Q是線段DE上的點,且QE=2DQ,連接BQ并延長,交邊AC于點P.設BD=x,AP=y.
(1)求y關于x的函數(shù)解析式及定義域;
(2)當△PQE是等腰三角形時,求BD的長;
(3)連接CQ,當∠CQB和∠CBD互補時,求x的值.
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【題目】如圖,圖1是由5個完全相同的正方體堆成的幾何體,現(xiàn)將標有E的正方體平移至如圖2所示的位置,下列說法中正確的是( )
A.左、右兩個幾何體的主視圖相同
B.左、右兩個幾何體的左視圖相同
C.左、右兩個幾何體的俯視圖不相同
D.左、右兩個幾何體的三視圖不相同
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