Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D，點E為AC邊上一點，連接BE交CD于點F，過點E作EG⊥BE交AB于點G，
（1）如圖1，當點E為AC中點時，線段EF與EG的數(shù)量關系是______；
（2）如圖2，當，探究線段EF與EG的數(shù)量關系并且證明；
（3）如圖3，當，線段EF與EG的數(shù)量關系是______．

Answer 1

解：（1）證明：如圖1，過E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵點E為AC的中點，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=AD，
∴EM=CD，
∴EN=EM，
∵∠GEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEF=∠GEM，
∴，
∴△EGM≌△EFN，（ASA）
∴EG=EF

（2）
證明如圖（2）：過點E作EM⊥CD于點M，作EN⊥AB于點N，

∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于點D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴
∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠1+∠2=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴，
∴
∵，
∴．

（3）∴
證明如圖（3）：過點E作EM⊥CD于點M，作EN⊥AB于點N，
∴∠ENA=∠CME=∠EMF=90°．
∵CD⊥AB于點D，
∴∠CDA=90°．
∴EM∥AD．∠A=∠CEM．
∴△EMC∽△ANE．∴
∵EM∥AD，∴∠NEM=90．即∠2+∠3=90°．
∵EG⊥BE，∴∠3+∠2=90°，
∴∠MEF=∠GEN．
∴△EFM∽△EGN．∴．
∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=45°，∴AN=EN．
∴，
∴
∵
∴，

故答案為：（1）EF=EG，（3）
分析：（1）根據(jù)全等三角形的證明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根據(jù)已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用．