Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，且當x=0和x=4時，y的值相等，直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標是3，另一點是這條拋物線的頂點M。
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為線段OM上一點，過點P作PQ⊥x軸于點Q，若點P在線段OM上運動（點P不與點O重合，但可以與點M重合），設OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍；
（3）隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值，并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；
（4）隨著點P的運動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。

Answer 1

解：（1）∵當x=0和x=4時，y的值相等， ∴c=16a+4b+c， ∴b=-4a， ∴， 將x=3代入y=4x-16，得y=-4， 將x=2代入y=4x-16，得y=-8， ∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）2-8， 將點（3，-4）代入，得-4=a（x-2）2-8，解得a=4， ∴拋物線y=4（x-2）2-8，即y=4x2-16x+8； （2）設直線OM的解析式為y=kx，將點M（2，-8）代入，得k=-4， ∴y=-4x， 則點P（t-4t），PQ=4t，而PC=8，OQ=t， S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t， t的取值范圍為：0＜t≤2； （3）隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值， 從圖象可看出，隨著點P由O→M運動，△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大，即S不斷變大，顯當然點P運動到點M時，S最值， 此時t=2時，點Q在線段AB的中點上， 因而S=×2×8+×2×8=16， 當t=2時，OC=MQ=8，OC∥MQ， ∴四邊形PQCO是平行四邊形；  （4）隨著點P的運動，存在t=，能滿足PO=OC， 設點P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t， 由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2， ∵PO=OC， ∴17t2=82，，（不合題意） ∴當時，PO=OC。