(2013•阜寧縣二模)如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20cm,∠ABC=120°.動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);Q以2cm/s的速度,沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí),整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷PQ與對(duì)角線AC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點(diǎn)N.
①當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P、M、N在一直線上?
②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時(shí),是否存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)此問需分兩種情況,當(dāng)0<t≤5及5<t≤10兩部分分別討論得PQ⊥AC.
(2)①由于點(diǎn)P、M、N在一直線上,則AQ+QM=AM,代入求得t的值.
②假設(shè)存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形,但是需分點(diǎn)N在AD上時(shí)和點(diǎn)N在CD上時(shí)兩種情況分別討論.
解答:解:(1)若0<t≤5,則AP=4t,AQ=2t.
==
又∵AO=10,AB=20,∴==
=.又∠CAB=30°,∴△APQ∽△ABO.
∴∠AQP=90°,即PQ⊥AC.
當(dāng)5<t≤10時(shí),同理,可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°,即PQ⊥AC.
∴在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中,始終有PQ⊥AC.

(2)①如圖,在Rt△APM中,∵∠PAM=30°,AP=4t,
∴AM=
在△APQ中,∠AQP=90°,
∴AQ=AP•cos30°=2t,
∴QM=AC-2AQ=20-4t.
由AQ+QM=AM得:2t+20-4t=,
解得t=
∴當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)P、M、N在一直線上.

②存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.
設(shè)l交AC于H.
如圖1,當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí),若PN⊥MN,則∠NMH=30°.
∴MH=2NH.得20-4t-=2×,解得t=2.
如圖2,當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí),若PM⊥PN,則∠HMP=30°.
∴MH=2PH,同理可得t=
故當(dāng)t=2或時(shí),存在以PN為一直角邊的直角三角形.

點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性強(qiáng),較為復(fù)雜,難度較大.
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