Question

如圖，AD、BC交于點O，EF過點O分別交AB、CD于點E、F．OA=OD，OE=OF．
（1）求證：AB=CD；
（2）在圖中，連接某些線段可以構成一個平行四邊形，請你將可以構成的平行四邊形一一列舉出來（不需要證明）．

Answer 1

（1）證明：∵DA=OD，OE=OF，∠AOE=∠DOF，
∴△AOE≌△DOF，（3分）
∴∠A=∠D，（3分）
∵∠AOB=∠DOC，OA=OD，
∴△AOB≌△DOC，（4分）
∴AB=CD；（5分）

（2）解：連接AC、BD，可構成平行四邊形ACDB；
連接AF、ED，可構成平行四邊形AFDE；
連接EC、BF，可構成平行四邊形ECFB；
（共3分，多寫一個扣1分）
分析：（1）由已知的OA=OD，OE=OF，再加上一對對頂角相等，根據(jù)“SAS”可得三角形AOE與三角形DOF全等，根據(jù)全等三角形的對應角相等得到三角形AOD與三角形DOC一對角相等，再由對頂角相等及OA=OD，利用“ASA”可得這兩個三角形全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等得證；
（2）連接AC，BD形成的四邊形ACDB為平行四邊形，理由是：根據(jù)（1）得出的三角形AOB與DOC全等，得到∠A=∠D及AB與CD相等，利用內錯角相等的兩直線平行得到AB與CD平行，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得證；連接AF、ED，可構成平行四邊形AFDE，理由為：三角形AOE與三角形DOF全等得到∠A=∠D及AE=DF，根據(jù)內錯角相等的兩直線平行得到AE與DF平行，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得證；連接EC、BF，可構成平行四邊形ECFB，理由：三角形AOE與三角形DOF全等得到∠A=∠D及AE=DF，根據(jù)內錯角相等的兩直線平行得到EB與CF平行，由AB=CD，AE=FD，兩式相減可得EB=CF，由一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得證．
點評：此題考查了平行四邊形的判定，以及全等三角形的判定與性質．學生做題時注意第一問利用了兩次全等的方法得證，其中第一次全等關鍵是得到∠A=∠D，從而為第二次全等提供了條件；第二問必須把圖形中，所有連接能構成平行四邊形的情況找全，不要多也不能少．