Question

【題目】∠MON＝45°，點(diǎn)P在射線OM上，點(diǎn)A，B在射線ON上（點(diǎn)B與點(diǎn)O在點(diǎn)A的兩側(cè)），且AB＝1，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CD（點(diǎn)C與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)）．

（1）如圖，若OA＝1，OP，依題意補(bǔ)全圖形；

（2）若OP，當(dāng)線段AB在射線ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CD與射線OM有公共點(diǎn)，求OA的取值范圍；

（3）一條線段上所有的點(diǎn)都在一個(gè)圓的圓內(nèi)或圓上，稱這個(gè)圓為這條線段的覆蓋圓．若OA＝1，當(dāng)點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以射線OM上一點(diǎn)Q為圓心作線段CD的覆蓋圓，直接寫出當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時(shí)OP和OQ的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）1≤OA≤2；（3）OP，OQ

【解析】

（1）利用直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置，連接即可得到線段CD；

（2）如圖2（見解析），作交ON于點(diǎn)E，作交OM于點(diǎn)G，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理推出，則有，從而可得點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置，然后結(jié)合圖形，分析線段CD與射線OM有公共點(diǎn)時(shí)，OA的最小值與最大值即可；

（3）先確認(rèn)當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時(shí)的直徑，再利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

（1）

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：

是等腰直角三角形

∴D正好落在OM上

因此，補(bǔ)全圖形如圖1所示；

（2）如圖2，作交ON于點(diǎn)E，作交OM于點(diǎn)G

連接PA、PC

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：

則點(diǎn)C在射線EF上

同理可證：點(diǎn)D也在射線EF上

因此，當(dāng)線段AB在射線ON上從左向右平移時(shí)，線段CD在射線EF上從下向上平移，且

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)G重合時(shí)，OA取得最小值，由（1）可知，最小值為

如圖3，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)G重合時(shí)，OA取得最大值，最大值為

綜上，OA的取值范圍是；

（3）如圖4．作PE⊥OM交ON于點(diǎn)E，作EF⊥ON交OM于點(diǎn)Q

當(dāng)線段CD的覆蓋圓的直徑取得最小值時(shí)，直徑為

則圓心點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，

由（2）可知

在中，

則

在中，

則，解得

故的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為.