Question

平面上任意五個點都落在格點上，試證明至少有二個點連線的中點也在格點上．

Answer 1

分析：首先根據(jù)中點坐標公式知，坐標平面兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）的中點坐標是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），再證明x₁與x₂，y₁與y₂的奇偶性相同，根據(jù)坐標的奇偶性構(gòu)造四個“抽屜”進行證明．

解答：證明：由中點坐標公式知，坐標平面兩點（x₁，y₁）、（x₂，y₂）的中點坐標是（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
欲使

x1+x2

2

和

y1+y2

2

都是整數(shù)，必須而且只須x₁與x₂，y₁與y₂的奇偶性相同．
平面上格點的坐標是以下四種情況：（奇數(shù)，奇數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），
（偶數(shù)，奇數(shù)）由于五個點都落在格點上，肯定有二個格點的坐標情況相同，
根據(jù)整數(shù)的奇偶性質(zhì)，則他們連線的中點坐標也一定是以上四種情況之一．
故至少有二個點的中點的連線也在格點上．

點評：此題主要考查了抽屜原理的知識點，解答本題的關(guān)鍵是對坐標平面上的任意格點按照橫縱兩個坐標的奇偶性考慮構(gòu)造四個“抽屜”，充分利用好抽屜原理的知識點，本題難度較大．