平面上任意五個點都落在格點上,試證明至少有二個點連線的中點也在格點上.
分析:首先根據(jù)中點坐標公式知,坐標平面兩點(x1,y1)、(x2,y2)的中點坐標是(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
),再證明x1與x2,y1與y2的奇偶性相同,根據(jù)坐標的奇偶性構(gòu)造四個“抽屜”進行證明.
解答:證明:由中點坐標公式知,坐標平面兩點(x1,y1)、(x2,y2)的中點坐標是(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
).
欲使
x1+x2
2
y1+y2
2
都是整數(shù),必須而且只須x1與x2,y1與y2的奇偶性相同.
平面上格點的坐標是以下四種情況:(奇數(shù),奇數(shù)),(奇數(shù),偶數(shù)),(偶數(shù),偶數(shù)),
(偶數(shù),奇數(shù))由于五個點都落在格點上,肯定有二個格點的坐標情況相同,
根據(jù)整數(shù)的奇偶性質(zhì),則他們連線的中點坐標也一定是以上四種情況之一.
故至少有二個點的中點的連線也在格點上.
點評:此題主要考查了抽屜原理的知識點,解答本題的關(guān)鍵是對坐標平面上的任意格點按照橫縱兩個坐標的奇偶性考慮構(gòu)造四個“抽屜”,充分利用好抽屜原理的知識點,本題難度較大.
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