Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一個動點(diǎn)，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設(shè)切點(diǎn)為A．

（1）如圖1，⊙P運(yùn)動到與x軸相切，設(shè)切點(diǎn)為K，判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運(yùn)動到與x軸相交，設(shè)交點(diǎn)為B，C．當(dāng)四邊形ABCP是菱形時：

①求出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)．

②在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MBP的面積是菱形ABCP面積的？若存在，試求出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

 

Answer 1

（1）四邊形OKPA是正方形．

證明：∵⊙P分別與兩坐標(biāo)軸相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK．

∴∠PAO=∠OKP=90°．

又∵∠AOK=90°，

∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

∴四邊形OKPA是矩形．

又∵AP=KP，

∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB．過點(diǎn)P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，

∴BC=PA=PB=PC（半徑）．

∴△PBC為等邊三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=

∴P（）帶入

解之得：x=±2（負(fù)值舍去）．

∴PG=，PA=BC=2．P(2,  )

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．

∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．

②設(shè)二次函數(shù)解析式為：，過點(diǎn)A（0，），

∴ ∴二次函數(shù)解析式為：y＝x²−x+

設(shè)直線BP的解析式為：y=ux+v，據(jù)題意得：解之得：．

∴直線BP的解析式為：y= x-，

要使

過點(diǎn)A作直線AM∥BP，則可得直線AM的解析式為：y＝x+．

解方程組：

得：；．

過點(diǎn)C作直線CM∥PB，則可設(shè)直線CM的解析式為：y＝x+t．

∴0=3+t．

∴t＝−3．

∴直線CM的解析式為：y＝x−3．

解方程組：

得：；．．

綜上可知，滿足條件的M的坐標(biāo)有四個，

分別為：（0，），（3，0），（4，），（7，8）