Question

 如圖，已知AB是⊙O的直徑，點H在⊙O上，E是     的中點，過點E作EC⊥AH，交AH的延長線于點C．連結AE，過點E作EF⊥AB于點F．

1.（1）求證：CE是⊙O的切線；

2.（2）若FB=2,  tan∠CAE =，求OF的長．

 

Answer 1

 

1.（1）證明：連結OE．       ……………………………… 1分

∵ 點E為  的中點，

∴ ∠1=∠2． 

∵ OE=OA，

∴ ∠3=∠2．

∴ ∠3=∠1．

∴ OE∥AC．

∵ AC⊥CE，

∴ OE⊥CE．       ………………………………………… 2分

∵ 點E在⊙O上，

∴ CE是⊙O的切線．

2.（2）解：連結EB．

∵ AB是⊙O的直徑，

∴ ∠AED=90°．

∵ EF⊥AB于點F，

∴ ∠AFE=∠EFB=90°．

∴ ∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°．

∴ ∠2=∠4=∠1．

∵ tan∠CAE =，

∴ tan∠4 =．

在Rt△EFB中，∠EFB=90°，FB=2， tan∠4 =，

∴ EF=．    ……………………………………………………………… 4分

設 OE=x，則OB= x．

∵ FB=2，

∴ OF=x-2．

∵ 在Rt△OEF中，∠EFO=90°，

∴ x²=(x-2)²+()²．

∴ x=3（負值舍去）．

∴ OF=1．

解析:略