Question

如圖，在△ABC中，BA=BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點F．

（1）求證：∠ABC=2∠CAF；

（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的長．

　

Answer 1

【考點】切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）首先連接BD，由AB為直徑，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切線，易證得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，證得：∠ABC=2∠CAF；

（2）首先連接AE，設(shè)CE=x，由勾股定理可得方程：（2）²=x²+（3x）²求得答案．

【解答】（1）證明：如圖，連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°．

∵AF是⊙O的切線，

∴∠FAB=90°，

即∠DAB+∠CAF=90°．

∴∠CAF=∠ABD．

∵BA=BC，∠ADB=90°，

∴∠ABC=2∠ABD．

∴∠ABC=2∠CAF．

 

（2）解：如圖，連接AE，

∴∠AEB=90°，

設(shè)CE=x，

∵CE：EB=1：4，

∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，

在Rt△ACE中，AC²=CE²+AE²，

即（2）²=x²+（3x）²，

∴x=2．

∴CE=2．

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)以及勾股定理，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解答此題大關(guān)鍵．