Question

（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P、Q分別在射線CB、AC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ=∠ABC．
①若點P在線段CB上（如圖），且BP=6，求線段CQ的長；

②若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）正方形ABCD的邊長為5（如圖），點P、Q分別在直線CB、DC上（點P不與點C、點B重合），且保持∠APQ=90度．當(dāng)CQ=1時，寫出線段BP的長（不需要計算過程，請直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

分析：（1）①求線段CQ的長，根據(jù)已知條件AB=AC，∠APQ=∠ABC知道，可以先證明△QCP∽△PBA，由比例關(guān)系式得出；
②要求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)的定義域，因為BP在線段CB上，或在CB的延長線上，根據(jù)實際情況證明△QCP∽△ABP，求出比例關(guān)系式得出
（2）要求線段BP的長，先證明△BAP∽△CPQ得出比例式，再利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．

解答：解：（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，
∴∠BAP=∠CQP．（1分）
又∵AB=AC，∴∠B=∠C．（1分）
∴△CPQ∽△BAP．（1分）
∴

CQ

BP

=

CP

AB

．（1分）
∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8-6=2，（1分）
∴

CQ

6

=

2

5

，CQ=

12

5

．（1分）

②若點P在線段CB上，由（1）知

CQ

BP

=

CP

AB

，
∵BP=x，BC=8，∴CP=BC-BP=8-x，
又∵CQ=y，AB=5，∴

y

x

=

8-x

5

，即y=-

1

5

x2+

8

5

x．
故所求的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x2+

8

5

x，（0＜x＜8）．（2分）
若點P在線段CB的延長線上，如圖．
∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，
∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，
∴∠CPQ=∠PAB．
又∵∠ABP=180°-∠ABC，∠PCQ=180°-∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴

BP

CQ

=

AB

PC

．（1分）
∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，
∴

x

y

=

5

8+x

，即y=

1

5

x2+

8

5

x（x≥8）．（1分）

（2）①當(dāng)點P在線段BC上，
∵∠APQ=90°，
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠QPC，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
即5：（5-BP）=BP：1，
解得：BP=

5+ 5

2

，或BP=

5- 5

2

，（2分）
②當(dāng)點P在線段BC的延長線上，則點Q在線段DC的延長線上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
∴5：（BP-5）=BP：1，
解得：BP=

5+3 5

2

，（1分）
③當(dāng)點P在線段CB的延長線上，則點Q在線段DC的延長線上，
同理可得：△ABP∽△PCQ，
∴AB：PC=BP：CQ，
∴5：（BP+5）=BP：1，
解得：BP=

-5+3 5

2

．（1分）

點評：本題結(jié)合三角形，正方形的性質(zhì)考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，利用圖形間的“和差“關(guān)系求解．