Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)N（2,－5），過點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6.

1.求此拋物線的解析式

2.點(diǎn)P（x,y）為此拋物線上一動點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)△DMN為直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

3.設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

 

1.∵過點(diǎn)M、N（2，－5），，

由題意，得M（，）.

∴ 

解得 

∴此拋物線的解析式為. ……………………………2分

2.設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點(diǎn)G，

若△DMN為直角三角形，則.

∴D₁（，），（，）. …………………………………2分

直線MD₁為，直線為.

將P（x，）分別代入直線MD₁，

的解析式，

得①，②.

解①得 ，（舍），

∴（1,0）.  …………………………………2分

解②得 ，（舍），

∴（3,－12）. ……………………………1分

3.設(shè)存在點(diǎn)Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若點(diǎn)Q在MN上方，過點(diǎn)Q作QH⊥MN，

交MN于點(diǎn)H，則.

即.                                                                                          

解得，（舍）.

∴（，3）. ……………………………2分

② 若點(diǎn)Q在MN下方，

同理可得（6，）. …………………2分

解析:（1）把M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中計算出a、b的值即可；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點(diǎn)G，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入到直線MD方程中，從而解出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）先設(shè)存在點(diǎn)Q（x，），分二種情況進(jìn)行討論，Q在MN上方或下方，利用直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解。