Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點C（0，4），對稱軸x=2與x軸交于點D，頂點為M，且DM=OC+OD．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）是第一象限內該拋物線上的一個動點，△PCD的面積為S，求S關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若經過點P的直線PE與y軸交于點E，是否存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等？若存在，請求出直線PE的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴頂點M坐標為（2，6）．
設拋物線解析式為：y=a（x-2）²+6，
∵點C（0，4）在拋物線上，
∴4=4a+6，
解得a=．
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²+6=x²+2x+4．

（2）如答圖1，過點P作PE⊥x軸于點E．

∵P（x，y），且點P在第一象限，
∴PE=y，OE=x，
∴DE=OE-OD=x-2．
S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE
=（4+y）•x-×2×4-（x-2）•y
=y+2x-4．
將y=x²+2x+4代入上式得：S=x²+2x+4+2x-4=x²+4x．
在拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x+4中，令y=0，即x²+2x+4=0，解得x=2±．
設拋物線與x軸交于點A、B，則B（2+，0），
∴0＜x＜2+．
∴S關于x的函數關系式為：S=x²+4x（0＜x＜2+）．

（3）存在．
若以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，可能有以下情形：
（I）OD=OP．
由圖象可知，OP最小值為4，即OP≠OD，故此種情形不存在．
（II）OD=OE．
若點E在y軸正半軸上，如答圖2所示：

此時△OPD≌△OPE，
∴∠OPD=∠OPE，即點P在第一象限的角平分線上，
∴直線PO的解析式為：y=x；
若點E在y軸負半軸上，易知此種情形下，兩個三角形不可能全等，故不存在．
（III）OD=PE．
∵OD=2，
∴第一象限內對稱軸右側的點到y(tǒng)軸的距離均大于2，
則點P只能位于對稱軸左側或與頂點M重合．
若點P位于第一象限內拋物線對稱軸的左側，易知△OPE為鈍角三角形，而△OPD為銳角三角形，則不可能全等；
若點P與點M重合，如答圖3所示，此時△OPD≌OPE，四邊形PDOE為矩形，

∴直線PE的解析式為：y=6．
綜上所述，存在以O、P、E為頂點的三角形與△OPD全等，直線PE的解析式為y=6．
分析：（1）首先求出點M的坐標，然后利用頂點式和待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖1所示，作輔助線構造梯形，利用S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE求出S關于x的表達式；求出拋物線與x軸正半軸的交點坐標，得到自變量的取值范圍；
（3）由于三角形的各邊，只有OD=2是確定長度的，因此可以以OD為基準進行分類討論：
①OD=OP．因為第一象限內點P到原點的距離均大于4，因此OP≠OD，此種情形排除；
②OD=OE．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立；
③OD=PE．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立．
點評：本題是二次函數壓軸題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、一次函數、全等三角形、圖形面積計算等知識點．難點在于第（3）問，兩個三角形中只有一邊為定長，因此分類討論稍顯復雜，需要仔細分析．