Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為（0，），且ac=。

（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，-1），
①求使y＜0成立的x的取值范圍；
②若圓心在該函數(shù)的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，求圓心的坐標；
（2）經(jīng)過A（0，p）的直線與該函數(shù)的圖象相交于M，N兩點，過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M₁，N₁，設△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積分別為s₁，s₂，s₃，是否存在m，使得對任意實數(shù)p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點坐標為（0，），且ac=，
又∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1，-1），代入二次函數(shù)解析式得方程組，
解得：a=-，b=0，c=-，y=-x²-，
①利用函數(shù)圖象可知使y＜0成立的x的取值范圍是：全體實數(shù)；
②若圓心在該函數(shù)的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，
假設與x軸切點為Q，與y軸切點為F，
∴OQ=FO，∴-x=-x²-，整理得：x²-2x+1=0，解得：x₁=x₂=1，
∴QO=FO=1，
∴圓心的坐標為：（1，-1）或（-1，1）；
（2）存在m，使得對任意實數(shù)p≠0都有s₂²=ms₁s₃成立。