Question

8．設(shè)x₁、x₂是方程x²-x-5=0的兩個實數(shù)根．則x₁³-2x₂²-4x₂+5的值為±6$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)一元二次方程解的定義得到x₁²=x₁+5，則x₁³=6x₁+5，x₂²=x₂+5，所以x₁³-2x₂²-4x₂+5可化為6（x₁-x₂），再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=-5，接著利用完全平方公式可計算出x₁-x₂═±$\sqrt{21}$，從而得到x₁³-2x₂²-4x₂+5=±6$\sqrt{21}$．

解答 解：∵x₁、x₂是方程x²-x-5=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁²-x₁-5=0，則x₁²=x₁+5，
∴x₁³=x₁²+5x₁=6x₁+5，
x₂²-x₂-5=0，則x₂²=x₂+5，
∴x₁³-2x₂²-4x₂+5=6x₁+5-2（x₂+5）-4x₂+5=6（x₁-x₂），
∵x₁、x₂是方程x²-x-5=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-5，
∴x₁-x₂=±$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\sqrt{1-4×（-5）}$=±$\sqrt{21}$，
∴x₁³-2x₂²-4x₂+5=±6$\sqrt{21}$．
故答案為±6$\sqrt{21}$．

點評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程解的定義．