Question

【題目】我們給出如下定義：兩個(gè)圖形和，在上的任意一點(diǎn)引出兩條垂直的射線與相交于點(diǎn)、，如果，我們就稱、為點(diǎn)的垂等點(diǎn)，、為點(diǎn)的垂等線段，點(diǎn)為垂等射點(diǎn)．

(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為軸上的垂等射點(diǎn)，過(guò)作軸的平行線，則直線上的為點(diǎn)的垂等點(diǎn)的是_______；

(2)如果一次函數(shù)圖象過(guò)，點(diǎn)為垂等射點(diǎn)的一個(gè)垂等點(diǎn)且另一個(gè)垂等點(diǎn)也在此一次函數(shù)圖象上，在圖2中畫(huà)出示意圖并寫(xiě)出一次函數(shù)表達(dá)式；

(3)如圖3，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作，垂等射點(diǎn)在上，垂等點(diǎn)在經(jīng)過(guò)(3，0)，(0，3)的直線上，如果關(guān)于點(diǎn)的垂等線段始終存在，求垂等線段長(zhǎng)的取值范圍(畫(huà)出圖形直接寫(xiě)出答案即可)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3).

【解析】

(1)如圖1，判斷與點(diǎn)P構(gòu)成等腰直角三角形的兩個(gè)點(diǎn)即可得到結(jié)論；

(2)①如圖2，當(dāng)垂等點(diǎn)直線右側(cè)時(shí)，先根據(jù)AAS證明，進(jìn)而可得，進(jìn)一步即可求出點(diǎn)N坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；②如圖3，當(dāng)垂等點(diǎn)直線左側(cè)時(shí)，同理可求；

(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)在第一和第三象限的角平分線上且時(shí)，取得最小或最大值，延長(zhǎng)交于，連接，先用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PM的最小值和最大值，即得PM的范圍．

解：(1)如圖1，分別過(guò)，作⊥x軸于，軸于，

∴，

∴，

∴，所以為點(diǎn)的垂等點(diǎn)，

故答案為：；

(2)①如圖2，當(dāng)垂等點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，作NF⊥x軸于點(diǎn)F，

依題意，可知，

∵，

∴．

∴（AAS）．

∴．

∵，∴．

∵點(diǎn)在第一象限，∴．

∴過(guò)點(diǎn)、的一次函數(shù)表達(dá)式為；

②如圖3，當(dāng)垂等點(diǎn)直線左側(cè)時(shí)，依題意同理可得，

∴過(guò)點(diǎn)、的一次函數(shù)表達(dá)式為；

(3)如圖4，當(dāng)點(diǎn)在第一和第三象限的角平分線上且時(shí)，取得最小或最大值，

延長(zhǎng)交于，連接，

∵，∴直線的解析式為，

當(dāng)PM最小時(shí)，∵，∴，

∴的縱坐標(biāo)為，∴橫坐標(biāo)為，

∴，

同理可求得PM的最大值為，

∴長(zhǎng)的取值范圍：．