Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AE＝6，BF＝8，平行四邊形ABCD的面積是36，求AD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可證BA＝BE＝AF，即可證四邊形ABEF是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)和勾股定理可求BE＝5，由菱形的面積公式可求AH＝，由平行四邊形的面積公式可求AD的長．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE＝∠AEB，

∵∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∴BA＝BE，

同理：AB＝AF

∴AF＝BE，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB＝AF，

∴四邊形ABEF是菱形

（2）如圖，過A作AH⊥BE，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴AO＝EO＝AE＝3，BO＝FO＝BF＝4，AE⊥BF，

∴BE＝＝5，

∵S菱形ABEF＝AEBF＝×6×8＝24，

∴BEAH＝24，

∴AH＝ ，

∴S平行四邊形ABCD＝AD×AH＝36，

∴AD＝ ．