Question

已知關于x的方程x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍為

1. A.
   a=-2
2. B.
   a＞0
3. C.
   a=-2或a＞0
4. D.
   a≤-2或a＞0

Answer 1

C
分析：將原方程變形為|x-3|²+（a-2）|x-3|-2a=0，求出方程的△，分為兩種情況，△=0，△＞0，代入后求出a的范圍即可．
解答：x²-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0，
（x-3）²+（a-2）|x-3|-2a=0，這是一個關于|x-3|的一元二次方程，
∵原方程有且僅有兩個不相等的實根，
∴|x-3|只有一個大于0的實數(shù)根（因為當|x-3|＜0，無解；當|x-3|=0，有1個解；當|x-3|＞0，有2個解），
△=（a-2）²-4（-2a）=（a+2）²，
①當△=0時，|x-3|有唯一解；
△=0，
a=-2；
此時原方程為|x-3|²-4|x-3|+4=0，
|x-3|=2，
x=5，x=1；
②|x-3|的一個根大于0，另一個根小于0，
△＞0，
a≠-2，
x₁•x₂＜0，
根據(jù)根與系數(shù)的關系得：-2a＜0，
a＞0，
綜合上述，a的取值分、范圍是a＞0或者a=-2，
故選C．
點評：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)關系的應用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），①當b²-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當b²-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，③當b²-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．