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如圖,A、B、C三點(diǎn)在⊙O上,=,∠1=∠2.
(1)判斷OA與BC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求證:四邊形OABC是菱形;
(3)過(guò)A作⊙O的切線交CB的延長(zhǎng)線于P,且OA=4,求△APB的周長(zhǎng).

【答案】分析:(1)根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角∠2=∠3,可知:OA∥BC;
(2)方法一,方法二,方法三:先證四邊形OABC是平行四邊形,再根據(jù)鄰邊的長(zhǎng)相等,可證四邊形OABC是菱形;方法四根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形;也可證四邊形OABC是菱形;
(3)根據(jù)切線的性質(zhì)可知:OA⊥AP,由OA∥CP可知:∠CPA=90°,故△APB為直角三角形,根據(jù)等邊△OAB的邊長(zhǎng)和∠OAB的度數(shù),可求出∠APB的度數(shù)和AB的長(zhǎng),故可求出△APB的周長(zhǎng).
解答:(1)解:OA∥BC.
理由:∵OA=OC,
∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2,
∴∠2=∠3.
∴OA∥BC.

(2)證明:(方法一)∵=
∴∠2=∠4.
∵∠2=∠1,
∴∠1=∠4.
∴AB∥OC.
由(1)得∴OA∥BC.
∴四邊形OABC是平行四邊形.
又∵OA=OC,
∴四邊形OABC是菱形.
(方法二)∵=,
∴∠2=∠4.
由(1)得∠2=∠3,
∴∠3=∠4.
在△AOC與△ABC中,∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4,
∴△AOC≌△ABC.
∴OA=BA,OC=BC.
又∵OA=OC,
∴OA=AB=BC=OC.
∴四邊形OABC是菱形.
(方法三)連接OB,
=,
∴∠3=∠4,AB=BC.
由(1)得OA∥BC,
∴∠3=∠5.
∴∠4=∠5.
∴BC=OC.
又∵OA=OC,
∴OA=AB=BC=OC.
∴四邊形OABC是菱形.
(方法四)連接OB,∵=
∴∠3=∠4.
又∵OA=OC,
∴OB垂直平分AC.
由(1)得OA∥BC.
∴∠3=∠5.
∴∠4=∠5.
∴BC=OC.
又∵∠1=∠2,
∴AC垂直平分OB.
∴AC與OB互相垂直平分,
∴四邊形OABC是菱形.

(3)解:∵AP與⊙O相切,
∴∠OAP=90°.
由(1)得OA∥BC,
∴∠P=90°.
由(2)得OA=AB=4,
又∵OA=OB,
∴△OAB是等邊三角形.
∴∠OAB=60°.
∴∠BAP=30°.
在Rt△ABP中,PB=AB=2,AP=AB×cos∠PAB=4cos30°=
∴△ABP的周長(zhǎng)為4+2+=6+
點(diǎn)評(píng):菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù),常用三種方法:
①定義法;
②四邊相等法;
③對(duì)角線互相垂直平分.具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來(lái)確定.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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9、如圖,A、C、E三點(diǎn)在同一條直線上,△DAC和△EBC都是等邊三角形,AE、BD分別與CD、CE交于點(diǎn)M、N,有如下結(jié)論:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( �。�

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15、如圖,A、Q、R三點(diǎn)在一條直線上,S為直線外一點(diǎn),∠AQS=136°,∠QRS=64°,則∠QSR=( �。�

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如圖,A,B,C三點(diǎn)在同一平面內(nèi),從山腳纜車站A測(cè)得山頂C的仰角為45°,測(cè)得另一纜精英家教網(wǎng)車站B的仰角為30°,AB間纜繩長(zhǎng)500米(自然彎曲忽略不計(jì)).(
3
≈1.73
,精確到1米)
(1)求纜車站B與纜車站A間的垂直距離;
(2)乘纜車達(dá)纜車站B,從纜車站B測(cè)得山頂C的仰角為60°,求山頂C與纜車站A間的垂直距離.

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精英家教網(wǎng)如圖,A,O,B三點(diǎn)在同一直線上,OC,OE分別是∠BOD,∠AOD的平分線,OC與OE有什么位置關(guān)系?為什么?

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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