Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是射線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AD上一點(diǎn)，BE=DF，連接EF交線段BD于點(diǎn)G，交AO于點(diǎn)H．若AB=3，AG=，則線段EH的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由EF與線段BD相交，可知點(diǎn)E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形，需要分類討論．
以答圖1為例，首先證明△EMG≌△FDG，得到點(diǎn)G為Rt△AEF斜邊上的中點(diǎn)，則求出EF=2AG=2；其次，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出BE或DF的長(zhǎng)度；然后在Rt△DFK中解直角三角形求出DK的長(zhǎng)度，從而得到CK的長(zhǎng)度，由AB∥CD，列比例式求出AH的長(zhǎng)度；最后作HN∥AE，列出比例式求出EH的長(zhǎng)度．
解答：解：由EF與線段BD相交，可知點(diǎn)E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形，如下：
①點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F在線段AD延長(zhǎng)線上，依題意畫出圖形，如答圖1所示：
過點(diǎn)E作EM⊥AB，交BD于點(diǎn)M，則EM∥AF，△BEM為等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F；
∵△BEM為等腰直角三角形，∴EM=BE，∵BE=DF，∴EM=DF．
在△EMG與△FDG中，

∴△EMG≌△FDG（ASA），
∴EG=FG，即G為EF的中點(diǎn)，
∴EF=2AG=2．（直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半）

設(shè)BE=DF=x，則AE=3-x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3-x）²+（3+x）²=（2）²，
解得x=1，即BE=DF=1，
∴AE=2，AF=4，
∴tan∠F=．
設(shè)EF與CD交于點(diǎn)K，則在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，
∴CK=CD-DK=．
∵AB∥CD，∴，
∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=．
過點(diǎn)H作HN∥AE，交AD于點(diǎn)N，則△ANH為等腰直角三角形，∴AN=AH=．
∵HN∥AE，∴，即，
∴EH=；
②點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段AD上，依題意畫出圖形，如答圖2所示：

同理可求得：EH=．
綜上所述，線段EH的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查相似三角形的綜合運(yùn)用，難度較大．解題關(guān)鍵是：第一，讀懂題意，由EF與線段BD相交，可知點(diǎn)E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形，需要分類討論，分別計(jì)算；第二，相似三角形比較多，需要理清頭緒；第三，需要綜合運(yùn)用相似三角形、全等三角形、正方形、勾股定理、等腰直角三角形的相關(guān)性質(zhì)．