Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點P，Q是AC的中點．
（1）請你判斷直線PQ與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若∠A=30°，AP=，求⊙O半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先連接OP、CP，由BC是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理可得∠BPC=90°，又由Q是AC的中點，根據(jù)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求得PQ=CQ=AQ，繼而可證得∠1+∠3=90°，則可得直線PQ與⊙O相切；
（2）由∠A=30°，AP=，分別在Rt△APC與Rt△ABC中，利用三角函數(shù)的性質即可求得答案．
解答： 解：（1）直線PQ與⊙O相切．理由如下：
連接OP、CP．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°．
又∵Q是AC的中點，
∴PQ=CQ=AQ．
∴∠3=∠4，
∵∠BCA=90°，
∴∠2+∠4=90°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=90°．
即∠OPQ=90°，
∴直線PQ與⊙O相切；


（2）∵∠A=30°，AP=2，
∴在Rt△APC中，AC==4，
∴在Rt△ABC中，BC=AC•tan30°=．
∴BO=．
∴⊙O半徑的長為．
點評：此題考查了切線的判定、圓周角定理以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．