Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)A、C、D均在坐標(biāo)軸上，且AB＝5，sinB＝．

(1)求過A、C、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)記直線AB的解析式為y₁＝mx＋n，(1)中拋物線的解析式為y₂＝ax²＋bx＋c，求當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量x的取值范圍；

(3)設(shè)直線AB與(1)中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線上A、E兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)由菱形ABCD的邊長和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的長，進(jìn)而確定A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，通過待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式． 　　(2)首先由A、B的坐標(biāo)確定直線AB的解析式，然后求出直線AB與拋物線解析式的兩個(gè)交點(diǎn)，然后通過觀察圖象找出直線y1在拋物線y2圖象下方的部分． 　　(3)該題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置，△APE的面積最大，那么S△APE＝AE×h中h的值最大，即點(diǎn)P離直線AE的距離最遠(yuǎn)，那么點(diǎn)P為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點(diǎn)． 　　解答：解：(1)∵四邊形ABCD是菱形， 　　∴AB＝AD＝CD＝BC＝5，sinB＝sinD＝； 　　Rt△OCD中，OC＝CD·sinD＝4，OD＝3； 　　OA＝AD－OD＝2，即： 　　A(－2，0)、B(－5，4)、C(0，4)、D(3，0)； 　　設(shè)拋物線的解析式為：y＝a(x＋2)(x－3)，得： 　　2×(－3)a＝4，a＝－； 　　∴拋物線：y＝－x2＋x＋4． 　　(2)由A(－2，0)、B(－5，4)得直線AB：y1＝－x－； 　　由(1)得：y2＝－x2＋x＋4，則： 　　， 　　解得：，； 　　由圖可知：當(dāng)y1＜y2時(shí)，－2＜x＜5． 　　(3)∵S△APE＝AE·h， 　　∴當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，S△ABC最大； 　　若設(shè)直線L∥AB，則直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)P； 　　設(shè)直線L：y＝－x＋b，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)， 　�。�x＋b＝－x2＋x＋4，且△＝0； 　　求得：b＝，即直線L：y＝－x＋； 　　可得點(diǎn)P(，)． 　　由(2)得：E(5，－)，則直線PE：y＝－x＋9； 　　則點(diǎn)F(，0)，AF＝OA＋OF＝； 　　∴△PAE的最大值：S△PAE＝S△PAF＋S△AEF＝××(＋)＝． 　　綜上所述，當(dāng)P(，)時(shí)，△PAE的面積最大，為． 　　點(diǎn)評(píng)：該題考查的是函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題，其中綜合了特殊四邊形、圖形面積的求法等知識(shí)，找出動(dòng)點(diǎn)問題中的關(guān)鍵點(diǎn)位置是解答此類問題的大致思路．

提示：

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．