Question

【題目】已知函數(shù)y= （n為常數(shù)）

（1）若點(diǎn)（3，-7）在函數(shù)圖象上，求n的值；

（2）當(dāng)y=1時(shí)，求自變量x的值（用含n的代數(shù)式表示）；

（3）若n-2≤x≤n+1，設(shè)函數(shù)的最小值為y0．當(dāng)-5≤y0≤-2時(shí)，求n的取值范圍；

（4）直接寫出函數(shù)圖象與直線y=-x+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）n=4或n=1；（2）-1或n；（3）1≤n≤-2+2 ；（4）n≥3或n=-6．

【解析】

（1）分3＜n和3≥n兩種情況，把（3，-7）分別代入相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，解出n的值即可；

（2）把y=1分別代入兩個(gè)解析式得到方程并解出x的值，然后要檢驗(yàn)解得的x值是否符合條件；

（3）先分別求出當(dāng)和時(shí)，y的最小值，然后根據(jù)兩個(gè)最小值的大小關(guān)系分類討論，由題意從而可求出n的取值范圍；

（4）分別求出當(dāng)x=n時(shí)，三個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，然后通過比較大小，畫出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象求解即可．

（1）解：當(dāng)3<n時(shí)，將（3，-7）代入y=x-nx-n中，

得-7=3-3n-n，解得n=4．

當(dāng)3≥n時(shí)，將（3，-7）代入y=-x+（n-1）x+n+1中，

得-7=-32+3（n-1）+n+1，解得n=1．

綜上，n=4或n=1．

（2）解：當(dāng)y=x-nx-n=1時(shí)，解得x1=-1，x2=n+1，

∵x<n，

∴x1=-1．

當(dāng)y=-x+（n-1）x+n+1=1時(shí)解得x1=-1，x2=n．

綜上，y=1時(shí)，自變量x的值為-1或n．

（3）解：y=

對(duì)于,函數(shù)y=的對(duì)稱軸為直線x=,開口向上

①當(dāng)＜,即n＞4時(shí),

此時(shí)當(dāng)時(shí),y最小=

由n＞4可知: y最小=＜-8,顯然不符合題意;

②當(dāng),即0＜n≤4時(shí),

此時(shí)當(dāng)x=時(shí), y最小=；

③當(dāng)，即n＜0時(shí)，

此時(shí)當(dāng)時(shí),y最小=

由n＜0可知: y最小=＞0,顯然不符合題意;

對(duì)于，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=,開口向小

①當(dāng)，即n＜-2時(shí)，

此時(shí)當(dāng)時(shí)，y最小==1，顯然不符合題意；

②當(dāng)，即n≥-2時(shí)，

此時(shí)當(dāng)時(shí)，y最小==-n-1；

綜上：當(dāng)0＜n≤4且＜-n-1，即2＜n≤4時(shí)

-5≤y0=≤-2

解得：或

結(jié)合前提條件可得：；

當(dāng)n≥-2且≥-n-1，即-2≤n≤2時(shí)

-5≤y0=-n-1≤-2

解得：1≤n≤4

結(jié)合前提條件可得：1≤n≤2

綜上可得：當(dāng)-5≤y0≤-2時(shí)，1≤n；

（4）將x=n代入y=中，解得：y=

將x=n代入y= 中，解得：y=1

將x=n代入y= 中，解得：y=-n＋4，其中-n＋4一定大于

當(dāng)＜1，即n＞-1時(shí)，圖象大致如下

由圖可知：當(dāng)-n≤-n＋4≤1時(shí)，函數(shù)圖象與直線y=-x+4有兩個(gè)交點(diǎn)

解得n≥3；

當(dāng)≥1，即n≤-1時(shí)，圖象大致如下

由圖可知：當(dāng)直線y=-x+4與拋物線y= 有唯一交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)圖象y與直線y=-x+4有兩個(gè)交點(diǎn)

聯(lián)立

整理，得

由題意可得：

解得：n1=-6，n2=2（不符合前提條件，舍去）

綜上：函數(shù)圖象y與直線y=-x+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，n≥3或n=-6