Question

如圖是一個(gè)形如正六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個(gè)點(diǎn)，算第一層，第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)，第三層每邊有三個(gè)點(diǎn)，…，依此類推．
（1）填寫下表：

層數(shù)	1	2	3	4	…
該層對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)	1	6	12	18	…
所有層的總點(diǎn)數(shù)	1	________	________	________	…

（2）寫出第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)（n≥2）；
（3）寫出n層的正六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)（n≥2）；
（4）如果點(diǎn)陣中所有層的總點(diǎn)數(shù)為331，請(qǐng)求出它共有幾層？

Answer 1

解：（1）如表：

（2）第一層上的點(diǎn)數(shù)為1；
第二層上的點(diǎn)數(shù)為6=1×6；
第三層上的點(diǎn)數(shù)為6+6=2×6；
第四層上的點(diǎn)數(shù)為6+6+6=3×6；
…；
第n層上的點(diǎn)數(shù)為（n-1）×6=6n-6．

（3）第二層開始，每增加一層就增加六個(gè)點(diǎn)，即n層六邊形點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6，
=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]，
=1+6×，
=1+3n（n-1）．
第n層六邊形的點(diǎn)陣的總點(diǎn)數(shù)為：1+3n（n-1）=3n²-3n+1．

（4）令3n²-3n+1=331
解得：n=-10（舍去）或n=11
答：共有11層．
分析：（1）觀察點(diǎn)陣可以寫出答案；
（2）觀察可知，從第二層開始，每增加一層就增加六個(gè)點(diǎn)；
（3）將每一層的點(diǎn)數(shù)相加后即可得到答案．
（4）將331代入后解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生通過(guò)特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過(guò)分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解．