Question

如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，AB∥OC．
（1）求證：AC平分∠OAB；
（2）過點O作OE⊥AB于點E，交AC于點P．
①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的長；
②若AB=10，OA=13，請直接寫出OP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB∥OC，得∠C=∠BAC，而∠C=∠OAC，得到∠BAC=∠OAC；
（2）①由OE⊥AB，AB=2，得AE=AB=1，再由∠AOE=30°，∠OEA=90°，得到OE=AE=，然后根據(jù)AB∥OC，得到=，即=，利用比例的性質(zhì)即可得到PE．
②和①的方法一樣，先根據(jù)垂徑定理得到AE=5，根據(jù)勾股定理得OE==12，再利用AB∥OC，得到=，利用比例的性質(zhì)即可得到OP．
解答：（1）證明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=AE=，
∵AB∥OC．
∴=，即=，
∴=，
∴PE=OE=；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE==12，
∵AB∥OC．
∴=，
∴=，
∴OP=×12=．
點評：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的�。�也考查了勾股定理、平行線的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)以及比例的性質(zhì)．