Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，連接AP并延長(zhǎng)，交射線BC于點(diǎn)H，交射線DC于點(diǎn)M，連接EF交AH于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論中：①M(fèi)F＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PMPH；④EF的最小值是．其中正確結(jié)論_____．（填寫序號(hào)）

Answer 1

【答案】②③

【解析】

①錯(cuò)誤；②正確．想辦法證明∠GFM+∠AMD＝90°即可；③正確，只要證明△CPM∽△HPC，可得，推出PC2＝PMPH，根據(jù)對(duì)稱性可知：PA＝PC，可得PA2＝PMPH；

④錯(cuò)誤．利用矩形的性質(zhì)可知EF＝PC，當(dāng)PC⊥BD時(shí)，EF的值最小，最小值為1

解：①錯(cuò)誤．因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P與BD中點(diǎn)重合時(shí)，CM＝0，顯然FM≠CM；

②正確．連接PC交EF于O．根據(jù)對(duì)稱性可知∠DAP＝∠DCP，

∵四邊形PECF是矩形，

∴OF＝OC，

∴∠OCF＝∠OFC，

∴∠OFC＝∠DAP，

∵∠DAP+∠AMD＝90°，

∴∠GFM+∠AMD＝90°，

∴∠FGM＝90°，

∴AH⊥EF；

③正確．∵AD∥BH，

∴∠DAP＝∠H，

∵∠DAP＝∠PCM，

∴∠PCM＝∠H，

∵∠CPM＝∠HPC，

∴△CPM∽△HPC，

∴，

∴PC2＝PMPH，

根據(jù)對(duì)稱性可知：PA＝PC，

∴PA2＝PMPH．

④錯(cuò)誤．∵四邊形PECF是矩形，

∴EF＝PC，

∴當(dāng)CP⊥BD時(shí)，PC的值最小，此時(shí)A、P、C共線，

∵AC＝2，

∴PC的最小值為1，

∴EF的最小值為1；

故答案為：②③．