已知直線l:y=2x+3,點(diǎn)A(1,1),求直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后的直線方程,并求點(diǎn)A到l的最小距離.
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解:∵直線l:y=2x+3,點(diǎn)A(1,1),繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°,
∴直線l過點(diǎn)(0,3),(-2,0),且旋轉(zhuǎn)后解析式為:y=ax+b,
∴(0,3)關(guān)于A(1,1)對稱點(diǎn)為:(2,-1),(-2,0)關(guān)于A(1,1)對稱點(diǎn)為:(4,2),
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/566691.png)
,
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/566692.png)
,
∴直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后的直線方程為:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
x-4,
過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/294061.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3293.png)
,
將A(1,1),D(-2,0),代入y=kx+c得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/566693.png)
,
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/566694.png)
,
∴直線AD的解析式為:y=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8.png)
x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為;(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
),則FO=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
,
∴CF=3-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/168.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/317.png)
,
∴S
△ACF+S
△CDF=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×1×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/317.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/317.png)
×2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4579.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
AE×CD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4579.png)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3293.png)
AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4579.png)
,
解得;AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/104713.png)
,
即點(diǎn)A到l的最小距離為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/104713.png)
.
分析:首先根據(jù)題意得出直線l:y=2x+3,點(diǎn)A(1,1),繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求出解析式,再利用三角形面積求出A到l的最小距離.
點(diǎn)評:此題主要考查了三角形面積求法以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí),根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.