Question

21、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC=BC于E，過C、E、D三點作圓交AE于G，CD與AE交于F，求證：AG=FG．

Answer 1

分析：連接GD，有題中條件可得Rt△CDB∽Rt△ACB，又有角平分線得出∠DAG與∠ADG的關(guān)系，進而通過角之間的轉(zhuǎn)化，得出∠DFG=∠GDF，即可得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接GD，則∠DCE=∠DGE=∠DAG+∠ADG，

又Rt△CDB∽Rt△ACB
∴∠DCE=∠DCB=∠BAC=2•∠DAG
故∠DAG+∠ADG=2•∠DAG，∠ADG=∠DAG，∴AG=GD，
又∠DFG+∠DAF=90°=∠GDF+∠ADG，
∴∠DFG=∠GDF，故GD=GF，
∴AG=GF．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及圓的一些基礎(chǔ)知識，能夠熟練掌握．