Question

如圖，MN=8，點(diǎn)P、Q在線段MN上，且PM=1，NQ=2．C是線段MN上的動點(diǎn)，分別以CM、CN為斜邊在線段MN的同側(cè)作直角△ACM和直角△BCN，使∠AMC=∠BCN=30°，連接AB，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)Q時，點(diǎn)D移動路徑的長是    ．

Answer 1

【答案】分析：易知四邊形ACNB是梯形，取CN的中點(diǎn)E，連接DE，設(shè)MC=x，1≤x≤6，在點(diǎn)C沿MN從P運(yùn)動到Q的過程中，DE從左向右平移，根據(jù)含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系，可求出ME的表達(dá)式，求出當(dāng)x=1和x=6時，ME₁和ME₂的長，即可得出．
解答：解：取CN的中點(diǎn)E，連接DE，設(shè)MC=x，1≤x≤6，
∵∠AMC=∠BCN=30°，
∴∠ACM=∠BNC=60°，則AC∥BN，
∴四邊形ACNB是梯形（當(dāng)C為MN中點(diǎn)時，為平行四邊形），
∴AC=，CE=BN=4-，DE==2，且DE∥AC，
這就是說，在點(diǎn)C沿MN從P運(yùn)動到Q的過程中，DE從左向右平移，
所以，點(diǎn)D運(yùn)動路徑的長就是點(diǎn)E運(yùn)動路徑的長，
∴ME=CM+CE=x+4-=4+，
當(dāng)x=1時，ME₁=4.5，
當(dāng)x=6時，ME₂=7，
∴E₁E₂=2.5，
∴點(diǎn)D運(yùn)動路徑長是2.5．
點(diǎn)評：本題主要考查了梯形的中位線定理和含30°角的直角三角形的邊角關(guān)系，知道把點(diǎn)D的移動路徑，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E的移動路徑，是解答本題的關(guān)鍵．