Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AC是⊙O的切線，過點O作弦AD的垂線交弦AD于點E，交AC 于點C．若OC=20，AB=24．
（1）求證：∠B=∠AOC．       
（2）求DB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為半圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，再由CO⊥AD，利用垂直定義得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到CO∥DB，再利用兩直線平行同位角相等即可得證；
（2）AC為圓O的切線，利用切線的性質得到CA垂直于AB，進而得到一對直角相等，再由（1）得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形ACO與三角形ABD相似，由相似得比例，將各自的值代入計算即可求出DB的長．
解答：（1）證明：∵AB為半圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵CO⊥AD，
∴∠AEO=90°，
∴∠ADB=∠AEO，
∴CO∥DB，
∴∠B=∠AOC；

（2）解：∵AB為半圓O的直徑，AC為圓O的切線，
∴∠ADB=∠CAO=90°，
∵∠B=∠AOC，
∴△CAO∽△ADB，
∴=，
∵OC=20，AB=24，
∴OA=12，
∴=，
則DB=．
點評：此題考查了切線的性質，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．