Question

已知y=ax²+bx+c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點．
（1）求三角形ABC的面積．
（2）若點D為線段OA的三等分點，求直線DC的解析式；
（3）若點P為拋物線上一點，當(dāng)三角形PBC的面積等于三角形ABC面積的一半時，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B、C三點的坐標(biāo)已知，得出BC，AO的長度，即可求出三角形ABC的面積；
（2）若點D為線段OA的一個三等分點，那么根據(jù)已知條件可以確定D的坐標(biāo)為（0，1）或，（0，2），而C的坐標(biāo)已知，利用待定系數(shù)法就可以確定直線CD的解析式；
（3）由于A、B、C三點的坐標(biāo)已知，可直接求出二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)點P為拋物線上一點，當(dāng)三角形PBC的面積等于三角形ABC面積的一半，得出P點的縱坐標(biāo)是：±，代入二次函數(shù)解析式即可求出P點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）S_△ABC=BC•OA=×3×4=6；

（2）依題意可得OA的三等分點分別為（0，1），（0，2）．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b．
當(dāng)點D的坐標(biāo)為（0，1）時，直線CD的解析式為y=-x+1；
當(dāng)點D的坐標(biāo)為（0，2）時，直線CD的解析式為y=-x+2；

（3）根據(jù)題意，c=3，
所以
解得
所以拋物線解析式為y=x²-x+3；
若點P為拋物線上一點，當(dāng)三角形PBC的面積等于三角形ABC面積的一半時，
BC不變，所以三角形PBC的高為，及P點的縱坐標(biāo)為±，分別代入二次函數(shù)解析式得出P點的坐標(biāo)；
當(dāng)y=時，x=，即P點的坐標(biāo)為：（，），（，），
當(dāng)y=-時，x=，即P點的坐標(biāo)為：（，-），（，-）．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的解析式，等重要知識點，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．