Question

【題目】在△ABC中，AB＞BC,直線l垂直平分AC.

（1）如圖1，作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD.

①補(bǔ)全圖形；

②判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（2）如圖2，直線l與△ABC的外角∠ABE的平分線交于點(diǎn)D，連接AD，CD.求證：∠BAD=∠BCD.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②∠BAD+∠BCD=180°，證明見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）①根據(jù)題意畫圖即可補(bǔ)全圖形；

②過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E、DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖4，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得DE=DF，DA=DC，再根據(jù)HL可證Rt△ADE≌Rt△CDF，進(jìn)而可得∠BAD=∠DCF，進(jìn)一步即可得出∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系；

（2）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥CE于點(diǎn)G，如圖5，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可得DG=DH，DA=DC，再根據(jù)HL可證Rt△ADH≌Rt△CDG，進(jìn)一步即可得出結(jié)論.

解：（1）①補(bǔ)全圖形如圖3；

②∠BAD+∠BCD=180°.

證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E、DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖4，

∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，

∵直線l垂直平分AC，∴DA=DC，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAD=∠DCF，

∵∠DCF+∠BCD=180°，

∴∠BAD+∠BCD=180°；

（3）證明：過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，DG⊥CE于點(diǎn)G，如圖5，

∵BD平分∠ABE，∴DH=DG，

∵直線l垂直平分AC，∴DA=DC，

∴Rt△ADH≌Rt△CDG（HL），

∴∠BAD=∠BCD，