Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.

（1）如圖1，直接寫出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如圖2，∠BCE=150°，∠ABE=60°判斷△ABE的形狀并加以證明；

（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若∠DEC=45°，求的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）∠ABD=30°-;（2）△ABE是等邊三角形（證明見解析）;（3）=30°.

【解析】

試題分析：（1）在等腰三角形中,頂角和底角的關(guān)系是∠B=(180°-∠A),∵AB=AC，∴∠ABC=∠C, ∵∠BAC=,∴∠ABC=(180°-),∴∠ABD=∠ABC -60°=30°-;（2）直觀上看△ABE是等邊三角形,而且有一個角是60°,只需要證明AB=BE即可,找到包含這兩條線段的三角形△ABD和△BCE,故連接AD,CD,因為∠ABE=60°, ∠ABD=30°-,∠DBE=30°+,又因為∠DBC=60°,所以∠CBE=30°

-=∠ABD,因為∠DBC=60°,BD=BC,所以△BDC是等邊三角形,所以BD=CD,在△ABD和△ACD中,AB=AC,

BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD,所以∠BAD=∠CAD=,在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°-,∠BEC==∠BAD,在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB=AC ,所以△ABD≌△CBE,所以AB=BE;（3）由(2)知△BDC是等邊三角形,所以∠BCD=60°,因為∠BCE=150°，所以∠DCE=90°,因為∠DEC=45°,所以△DCE是等腰直角三角形,所以CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，所以∠CBE=30°

-=15°, 所以=30°.

試題解析：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C,

∵∠BAC=,

∴∠ABC=(180°-),

∴∠ABD=∠ABC -60°=30°-;

（2）故連接AD,CD,

∵∠ABE=60°, ∠ABD=30°-,∠DBE=30°+,

又∵∠DBC=60°,

∴∠CBE=30°-=∠ABD,

∵∠DBC=60°,BD=BC,

∴△BDC是等邊三角形,

∴BD=CD,

在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,

∴△ABD≌△ACD,

∴∠BAD=∠CAD=,

在△BCE中,∠BCE=150°，∠CBE=30°-,∠BEC==∠BAD,

在△ABD和△CBE中, ∠BEC=∠BAD, ∠CBE=∠ABD,AB=AC ,

∴△ABD≌△CBE,

∴AB=BE;

（3）由(2)知△BDC是等邊三角形,

∴∠BCD=60°,

∵∠BCE=150°，

∴∠DCE=90°,

∵∠DEC=45°,

∴△DCE是等腰直角三角形,

∴CD=CE=BC,在△BCE中, ∠BCE=150°，

∴∠CBE=30°-=15°,

∴=30°.

考點：等腰三角形和等邊三角形.