Question

高科技發(fā)展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產(chǎn)品，并投入資金1500萬元作為固定投資，已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件．設(shè)銷售單價為x(元)，年銷售量為y(萬件)，年獲利(年獲利＝年銷售額－生產(chǎn)成本－投資)為z(萬元)．

(1)試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫x的取值范圍)

(2)試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不寫x的取值范圍)

(3)計算銷售單價為160元時的年獲利，并說明同樣的年獲利，銷售單價還可定為多少元？相應(yīng)的年銷售量分別為多少萬件？

(4)公司計劃，在第一年按年獲利最大確定銷售單價進(jìn)行銷售；到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數(shù)的大致圖像說明：第二年的銷售單價x(元)應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

答案：
解析：

(1)依題意知：當(dāng)銷售單價定為x元時，年銷售量減少(x－100)萬件，∴y＝20－(x－100)＝－x＋30． 　　即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－x＋30． 　　(2)由題意，得 　　z＝(30－x)(x－40)－500－1500＝－x2＋34x－3200．即z與x之間的函數(shù)關(guān)系式是z＝－x2＋34x－3200． 　　(3)∵當(dāng)x＝160時，z＝－×1602＋34×160－3200＝－320 　　∴－320＝－x2＋34x－3200，整理，得x2－340x＋28800＝0， 　　解得x1＝160，x2＝180． 　　即同樣的年獲利，銷售單價還可以定為180元．當(dāng)x＝160時，y＝－×160＋30＝14； 　　當(dāng)x＝180時，y＝－×180＋30＝12． 　　即相應(yīng)的年銷售量分別為14萬件和12萬件． 　　(4)∵z＝－x2＋34x－3200＝－(x－170)2－310． 　　∴當(dāng)x＝170時，z取最大值，為－310，即當(dāng)銷售單價定為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資． 　　第二年的銷售單價定為x元時，年獲利為： 　　z＝(30－x)(x－40)－310＝－x2＋34x－1510． 　　當(dāng)z＝1130時，即1130＝－x2＋34x－1510，整理得x2－340x＋26400＝0，解得：x1＝120，x2＝220，函數(shù)z＝－x2＋34x－1510的圖像大致如圖所示．由圖像可以看出：當(dāng)120≤x≤220時，z≥1130．故第二年的銷售單價應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．