Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切．現(xiàn)有動點P從A點出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當點P到達D點時停止移動；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動．已知點P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達各自的終止位置）

（1）如圖①，點P從A→B→C→D，全程共移動了   cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，已知點P從A點出發(fā)，移動2s到達B點，繼續(xù)移動3s，到達BC的中點．若點P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離；

（3）如圖②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：當⊙O到達⊙O₁的位置時（此時圓心O₁在矩形對角線BD上），DP與⊙O₁恰好相切？請說明理由．

Answer 1

解：（1）a+2b．

（2）∵在整個運動過程中，點P移動的距離為cm，

圓心O移動的距離為cm，

由題意，得．    ①

∵點P移動2s到達B點，即點P用2s移動了bcm，

點P繼續(xù)移動3s，到達BC的中點，即點P用3s移動了cm．

∴．            ②

由①②解得

∵點P移動的速度與⊙O 移動的速度相等，

∴⊙O 移動的速度為（cm/s）．

∴這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離為5×4=20（cm）．

（3）存在這種情形．

解法一：設(shè)點P移動的速度為v₁cm/s，⊙O移動的速度為v₂cm/s，

由題意，得．

如圖，設(shè)直線OO₁與AB交于點E，與CD交于點F，⊙O₁與AD相切于點G．

若PD與⊙O₁相切，切點為H，則O₁G=O₁H．

易得△DO₁G≌△DO₁H，∴∠ADB=∠BDP．

∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD．

∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP．

設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，

即，解得．

∴此時點P移動的距離為（cm）．

∵EF∥AD，∴△BEO₁∽△BAD．

∴，即．

∴EO₁=16cm．∴OO₁=14cm．

①當⊙O首次到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的距離為14cm，

∴此時點P與⊙O移動的速度比為．

∵，

∴此時PD與⊙O₁不可能相切．

②當⊙O在返回途中到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的距離為2×(20-4)-14=18（cm），

∴此時點P與⊙O移動的速度比為．

∴此時PD與⊙O₁恰好相切．

解法二：∵點P移動的距離為cm（見解法一），

OO₁=14cm（見解法一），，

∴⊙O應(yīng)該移動的距離為（cm）．

①當⊙O首次到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的距離為14cm≠18 cm，

∴此時PD與⊙O₁不可能相切．

②當⊙O在返回途中到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的距離為2×(20-4)-14=18（cm），

∴此時PD與⊙O₁恰好相切．

解法三：點P移動的距離為cm，（見解法一）

OO₁=14cm，（見解法一）

由可設(shè)點P的移動速度為5k cm/s，⊙O的移動速度為4k cm/s，

∴點P移動的時間為（s）．

①當⊙O首次到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的時間為，

∴此時PD與⊙O₁不可能相切．

②當⊙O在返回途中到達⊙O₁的位置時，⊙O移動的時間為，

∴此時PD與⊙O₁恰好相切．