Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是⊙O直徑，過點A的切線與CB的延長線交于點E．
（1）求證：EA²=EB•EC；
（2）若EA=AC，，AE=12，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵AE是切線，
∴∠EAB=∠C，
∵∠E是公共角，
∴△BAE∽△ACE，
∴EA：EC=EB：EA，
∴EA²=EB•EC；

（2）解：連接BD，過點B作BH⊥AE于點H，
∵EA=AC，
∴∠E=∠C，
∵∠EAB=∠C，
∴∠EAB=∠E，
∴AB=EB，
∴AH=EH=AE=×12=6，
∵cos∠EAB=，
∴cos∠E=，
∴在Rt△BEH中，BE==，
∴AB=，
∵AD是直徑，
∴∠ABD=90°，
∵∠D=∠C，
∴cos∠D=，
∴sin∠D=，
∴AD==，
∴⊙O的半徑為．
分析：（1）由弦切角定理，可得∠EAB=∠C，繼而可證得△BAE∽△ACE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得EA²=EB•EC；
（2）首先連接BD，過點B作BH⊥AE于點H，易證得∠E=∠C=∠D=∠EAB，然后由三角函數(shù)的性質，求得直徑AD的長，繼而求得⊙O的半徑．
點評：此題考查了切線的性質、弦切角定理、相似三角形的判定與性質以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．