Question

如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結(jié)論：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正確結(jié)論有（　�。﹤�．

A．

2

B．

3

C．

4

D．

5

Answer 1

考點：

正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．

分析：

通過條件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設(shè)EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關(guān)系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S_△CEF和2S_△ABE再通過比較大小就可以得出結(jié)論

解答：

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．

∵△AEF等邊三角形，

∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．

∴∠BAE+∠DAF=30°．

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

，

Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），

∴BE=DF，①正確．

∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°，

即∠DAF=15°②正確，

∵BC=CD，

∴BC﹣BE=CD﹣DF，

及CE=CF，

∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF．③正確．

設(shè)EC=x，由勾股定理，得

EF=x，CG=x，AG=x，

∴AC=，

∴AB=，

∴BE=﹣x=，

∴BE+DF=x﹣x≠x，④錯誤，

∵S_△CEF=，

S_△ABE==，

∴2S_△ABE==S_△CEF，⑤正確．

綜上所述，正確的有4個，故選C．

點評：

本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關(guān)鍵．