Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b圖象與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交于A（1，2）、B兩點(diǎn)，與x軸交于N點(diǎn)，且OA⊥AB．
（1）求反比例函數(shù)解析式．
（2）求N點(diǎn)坐標(biāo)，并求一次函數(shù)解析式．
（3）過點(diǎn)B作BP⊥AB交x軸于P，求S_△BPN．

Answer 1

【答案】分析：（1）待定系數(shù)法把A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計(jì)算即可得出答案；
（2）利用過A作AM⊥x軸，垂足為M，利用射影定理可以算出N點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，然后聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式即可算出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意可以得到△NAO∽△NBP，再根據(jù)三角形的面積比等于三角形高的相似比的平方可以計(jì)算出答案．
解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交于A（1，2），
∴t=xy=1×2=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y=；

（2）過A作AM⊥x軸，垂足為M，
∵A（1，2），由射影定理可得AM²=AM•NM，
∴2²=1×NM，
NM=4，
∴N（5，0），
∵一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)過A（1，2）、B（5，0），
∴，
解得，
∴一次函數(shù)y=-x+，
把反比例函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式聯(lián)立，
解得，，
∴B（4，）；

（3）過B作BH⊥x軸，
∵B（4，），
∴BH=，
∵OA⊥AB，BP⊥AB，
∴∠OAB=∠PBN=90°，
∴AO∥PB，
∴△NAO∽△NBP，
∴==，
∵S_△AON=ON×AM=5×2=5，
∴S_△PBN=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用射影定理計(jì)算出N點(diǎn)坐標(biāo)，掌握三角形的面積比等于三角形高的相似比的平方．