Question

如圖①，若二次函數(shù)的圖象與ｘ軸交于點(diǎn)A（－2,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于正比例函數(shù)的圖象的對稱點(diǎn)為C。

（1）求b、c的值；

（2）證明：點(diǎn)C 在所求的二次函數(shù)的圖象上；

（3）如圖②，過點(diǎn)B作DB⊥ｘ軸交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，連結(jié)AC，交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E，連結(jié)AD、CD。如果動點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AD方向以每秒2個單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)D沿線段DC方向以每秒1個單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個到達(dá)終點(diǎn)時，另一個隨之停止運(yùn)動，連結(jié)PQ、QE、PE，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，是否存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）。

（2）利用軸對稱和銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入驗(yàn)證即可。

（3）存在時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC。

【解析】

分析：（1）將A（－2,0）,B（3,0）兩點(diǎn)坐標(biāo) 代入，即可求出b、c的值。

（2）利用軸對稱和銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入驗(yàn)證即可。

（3）通過證明△PAE∽△ECQ，求出時間t。

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與ｘ軸交于點(diǎn)A（－2,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，

∴，解得。    

∴。

（2）證明：由（1）得二次函數(shù)解析式為。

在正比例函數(shù)的圖象上取一點(diǎn)F，作FH⊥x軸于點(diǎn)H，則

。∴。

連接AC交 的圖象于點(diǎn)E，作CK 垂直x軸于點(diǎn)K，

∵點(diǎn)A關(guān)于的圖象的對稱點(diǎn)為C，

∴OE垂直平分AC。

∵，OA=2，

∴。

在Rt△ACK中，∵，

∴�！�。

∴點(diǎn)C 的坐標(biāo)為。

將C 代入，左邊=右邊，

∴點(diǎn)C在所求的二次函數(shù)的圖象上。

（3）∵DB⊥x軸交的圖象于點(diǎn)D，B（3,0），

∴把x=3代入得，即BD=。

在Rt△ACK中，，

∵OE垂直平分AC，

∴，。

假設(shè)存在某一時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC，

則。

∵， ∴。

又∵，∴。

又∵，∴△PAE∽△ECQ�！�，即。

整理，得，解得（不合題意，舍去）。

∴存在時刻，使PE平分∠APQ，同時QE平分∠PQC。