Question

已知：拋物線y=x²-2（m+2）x+m²-1與x軸有兩個交點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m為非正整數(shù)時，關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²-1有整數(shù)根，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式

專題：

分析：（1）拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則△=b²-4ac＞0，從而求出m的取值范圍．
（2）根據(jù)（1）求出m的值．然后將其代入關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²-1，通過解方程求得該方程的根，通過該方程的根是否是整數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2（m+2）x+m²-1與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0，
即[-2（m+2）]²-4（m²-1）=16m+20＞0，
解得m＞-

5

4

，即m的取值范圍是m＞-

5

4

；

（2）由（1）知，m＞-

5

4

．
∵m為非正整數(shù)，
∴m=0或m=-1．
①當(dāng)m=0時，由原方程得到：y=x²-4x-1．
解得 x=2±

5

（不合題意）．
則m=0不合題意；
②當(dāng)m=-1時，由原方程得到：y=x²-2x=x（x-2）．
解得 x₁=0，x₂=2，
0和2都是整數(shù)，
則m=-1符合題意．
綜上所述，m的值是-1．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，注：①拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則△＞0；②拋物線與x軸無交點(diǎn)，則△＜0；③拋物線與x軸有一個交點(diǎn)，則△=0．