Question

如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四邊形DEFG為矩形，DE=2

3

cm，EF=6cm，且點C、B、E、F在同一條直線上，點B與點E重合．將Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的邊EF向右平移，當(dāng)點C與點F重合時停止移動，設(shè)Rt△ABC與矩形DEFG重疊部分的面積為y，Rt△ABC平移的時間為x （s）．
（1）求邊AC的長；
（2）求y 與x 的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)Rt△ABC移動至重疊部分的面積為y=

3

2

3

cm²時，將Rt△ABC沿邊AB向上翻折，得到Rt△ABC′，請求出Rt△ABC′與矩形DEFG重疊部分的周長．
（4）點P從點D出發(fā)，沿矩形DEFG的邊DE、EF、FG運動到點G停止．其中點P在DE邊上的速度為2

3

cm/s，在EF邊上的速度為1cm/s，在FG邊上的速度為4

3

cm/s．若點P與△ABC同時運動，請直接寫出點P落在△ABC內(nèi)部（不含邊）時運動時間x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，根據(jù)BC的長和∠A的與余切值即可求出AC的長；
（2）本題要找出幾個關(guān)鍵點：當(dāng)C與B重合、A與D重合時，x=2．當(dāng)B與F重合時，x=6；當(dāng)C與F重合時，x=8；因此本題可分三種情況：
①當(dāng)0＜x＜2時，此時重合部分是個直角三角形且與三角形ABC相似，可用它們的相似比求出重合部分的面積，
②當(dāng)2≤x≤6時，重合部分是三角形ACB，因此其面積就是三角形ABC的面積，
③當(dāng)6＜x＜8時，重合部分是個直角梯形，可參照①的思路進行求解；
（3）可將y的值分別代入（2）的三種情況中，求出符合條件的x的值，然后用相似三角形和解直角三角形的相關(guān)知識進行求解即可；
（4）當(dāng)P開始運動時，一定在△ABC的外部，在（1）的情況，設(shè)在t秒時P在邊AB上，BE=tcm，EM=2

3

-2

3

t，根據(jù)△ABC∽△MBE，求得t的值，當(dāng)t大于這個值時，P在△ABC的內(nèi)部，到P到達BC邊上時，不滿足條件，一直到P到達F點，再以后開始在△ABC的內(nèi)部，直到P到達AB邊上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得此時t的值，即可確定．

解答： 解：（1）AC=BC•cot∠A=2

3

（cm）；

（2）如圖（1）當(dāng)0＜x＜2時

y

S△ABC

=（

x

2

）²，
∴y=

x2

4

×

1

2

×2×2

3

即y=

3

2

x²；
當(dāng)2≤x≤6時y=S_△ABC=2

3

．
如圖（2）當(dāng)6＜x＜8時，AB交FG于H，

SFHB

S△ABC

=（

x-6

2

）²，
∴S_△FHB=

3

2

（x-6）²．
∴y=S_△ABC-S_△FHB=2

3

-

3

2

（x-6）²=-

3

2

x²+6

3

x-16

3

．
綜上所述：y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=

3 2 x2(0＜x＜2) 2 3 (2≤x≤6) - 3 2 x2+6 3 x-16 3 (6＜x＜8)

；

（3）當(dāng)0＜x＜2時，

3

2

x²=

3

2

3

，
解得：x=

3

，
如圖（3）AB交DE于點M，AC′交DE于點N，
則∠AMN=∠CAB=∠BAC′=30°，
∴MN=AN．
∵在Rt△MEB中，MB=2BE=2

3

，
∴重疊部分的周長=MN+NC′+BM=AN+N′C+C′B+BM=AC′+BC′+BM=2

3

+2+2

3

=4

3

+2（cm）．
當(dāng)6＜x＜8時，令y=

3 3

2

，則2

3

-

3

3

（x-6）²=

3 3

2

，
則（x-6）²=1，
解得：x₁=7，x₂=5（舍去）．
如圖（4）Rt△MFB中，F(xiàn)B═7-6=1，
則MF=1×cot30°=

3

，AM=MB=2，
設(shè)MN=AN=a，則NG=

a

2

，
則

a

2

+a+

3

=2

3

，
解得：a=

2 3

3

．
故重疊部分周長=C_△AMN=2a+AM=

4 3

3

+2（cm）；

（4）當(dāng)P開始運動時，一定在△ABC的外部，在（1）的情況，設(shè)在t秒時P在邊AB上，BE=tcm，EM=2

3

-2

3

t，
根據(jù)△ABC∽△MBE，則

ME

AC

=

BE

BC

，即

2 3 -2 3 t

2 3

=

t

2

，
解得：t=

2

3

，
當(dāng)

2

3

＜t＜1時，P一定在△ABC的內(nèi)部；
當(dāng)t=1時，P在BC的中點上，且在EF段，P與△ABC運動的速度相同，因而在1≤t≤8時，P始終是BC的中點．
當(dāng)t=7秒時，P到達F點，再運動則一定在△ABC的內(nèi)部，根據(jù)圖（2），△ABC∽△MFB，
則

HF

AC

=

BF

BC

，即

4 3 (8-t)

2 3

=

(t-8+1)

2

，
解得：t=8

1

3

．
則8＜t＜8

1

3

時，P在△ABC的內(nèi)部．
總之，

2

3

＜t＜1或7＜t＜8

1

3

時P在△ABC的內(nèi)部．

點評：本題主要考查了直角三角形和矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，要注意（2）（3）小題要分類討論，不要漏解．