如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,半徑為4的⊙O交坐標(biāo)軸于A、B、C、D,點(diǎn)P為弧BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C點(diǎn)重合).連AP、BC交于點(diǎn)G,連FG交OB 于點(diǎn)E.
作业宝
(1)請(qǐng)運(yùn)用圓的定義證明C、F、P、G在同一個(gè)圓上;
(2)當(dāng)P為BC的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)如圖2,連接PD,設(shè)△PAB的內(nèi)切圓半徑為r,求證:數(shù)學(xué)公式

解:(1)如圖1,取FG的中點(diǎn)M,連CM,PM.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=∠APB=90°,
∴∠BCF=∠FPB=90°
∴CM=GM=PM=FM=EG,即點(diǎn)C、F、P、G到點(diǎn)M的距離相等,
根據(jù)圓的定義:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.
點(diǎn)C、F、P、G在以點(diǎn)M為圓心,MC長(zhǎng)為半徑的圓上.

(2)如圖1,連PC.
∵點(diǎn)P為弧BC的中點(diǎn),
=
∴∠BAP=∠CAP.
又∵AP⊥BF,BC⊥AF,AP、BC交于點(diǎn)G,
∴點(diǎn)G為△ABF的垂心,
∴FG⊥AB,即GE⊥AB.
∵在△ACG和△AEG中,
,
∴△ACG≌△AEG(AAS).
∴AC=AE.
∵AO⊥OC,AO=OC=4,
∴AC=4,
∴AE=4
∴OE=AE-AO=4-4,
∴BE=OB-OE=8-4
∵∠1=∠CAB=45°,
∴∠=∠2=45°,
∴EG=BE=8-4
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是:(4-4,8-4);

(3)證明:如圖2,作∠ABP的角平分線BQ交PD于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AP,QN⊥BP,垂足分別為點(diǎn)M、N.
=,
∴∠1=∠2=45°.
又∵BQ平分∠ABP,
∴點(diǎn)Q即為△PAB的內(nèi)心,
∴QM=QN=r,又∠QMP=∠QNP=∠MPN=90°,
∴四邊形MQNP為正方形,易得PQ=QM=r,
∵△BPQ的外角∠5=∠2+∠3=45°+∠3,∠DBQ=∠DBO+∠4=45°+∠4,又∠3=∠4,
∴∠5=∠DBQ,
∴DQ=DB=4,
∴PD=PQ+QD=r+4=(4+r).
分析:(1)取FG的中點(diǎn)M,連CM,PM,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,證明CM=GM=PM=FM即可;
(2)如圖1,連PC.由三角形垂心的定義推知FE⊥AB.首先由全等三角形(△ACG≌△AEG)的性質(zhì)知對(duì)應(yīng)邊AC=AE=4;然后根據(jù)圓心角、弧、弦間的關(guān)系,勾股定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)求得BE=EG=8-4.則易求點(diǎn)G的坐標(biāo);
(3)如圖2,作∠ABP的角平分線BQ交PD于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AP,QN⊥BP,垂足分別為點(diǎn)M、N.通過(guò)圓周角定理,圓周角、弧、弦間的關(guān)系推知點(diǎn)Q即為△APB的內(nèi)心.根據(jù)內(nèi)心的定義以及正方形的判定推知四邊形MQNP為正方形,易得PQ=QM=r;然后根據(jù)△BPQ的外交定理,等腰三角形的判定求得DQ=DB=4,所以PD=PQ+QD=r+4=(4+r).
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題.其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有圓周角定理,圓的定義,圓周角、弧、弦間的關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)等.注意(3)中輔助線的作法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

23、在數(shù)學(xué)上,為了確定平面上點(diǎn)的位置,我們常用下面的方法:如圖甲,在平面內(nèi)畫(huà)兩條互相垂直,并且有公共原點(diǎn)O的數(shù)軸,通常一條畫(huà)成水平,叫x軸,另一條畫(huà)成鉛垂,叫y軸,這樣,我們就說(shuō)在平面上建立了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系,這是由法國(guó)數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立的,這樣我們就能確定平面上點(diǎn)的位置,例如,要確定點(diǎn)M的位置,只要作MP⊥x軸,MP⊥y軸,設(shè)垂足N,P在各自數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為x,y,則x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做M點(diǎn)的坐標(biāo),如圖甲,點(diǎn)M的坐標(biāo)記作(2,3),(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作
(2,2)

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在平面直角坐標(biāo)系中,將一塊腰長(zhǎng)為2
2
cm的等腰直角三角板ABC如圖放置,BC邊與x軸重合,∠ACB=90°,直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,0).
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3,2
2
(-3,2
2
,點(diǎn)B的坐為
(-3-2
2
,0)
(-3-2
2
,0)
;
(2)求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的拋物線的解析式;
(3)現(xiàn)三角板ABC以1cm/s的速度沿x軸正方向平移,則平移的時(shí)間為多少秒時(shí),三角板的邊所在直線與半徑為2cm的⊙O相切?

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學(xué)校閱覽室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2張方桌拼成一行能坐6人(如圖)

(1)按照這種規(guī)定填寫(xiě)下表:

(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),將s作為縱坐標(biāo),n作為橫坐標(biāo),在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中找出相應(yīng)各點(diǎn).

(3)請(qǐng)你猜一猜上述各點(diǎn)會(huì)在某一個(gè)函數(shù)圖象上嗎?如果在某一函數(shù)圖象上,求出該函數(shù)的解析式,并利用你探求的結(jié)果,求出當(dāng)n=10時(shí),s的值.

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閱讀下面的材料:

小明在研究中心對(duì)稱問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn):

如圖1,當(dāng)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)再繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),這時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.

如圖2,當(dāng)點(diǎn)、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn),小明發(fā)現(xiàn)P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱.

(1)請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出點(diǎn)、, 小明在證明P、兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱時(shí),除了說(shuō)明P、、三點(diǎn)共線之外,還需證明;

(2)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,當(dāng)、、為旋轉(zhuǎn)中心時(shí),點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn);點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn). 繼續(xù)如此操作若干次得到點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)的坐為.

 

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(1)△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖乙,請(qǐng)把△ABC向右平移3個(gè)單位,在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出平移后的△A′B′C′;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出平移后點(diǎn)A′的坐標(biāo),記作______.

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