Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結(jié)論．

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足 條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

（3）你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形？ ．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形，證明見解析．

（2）四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直，證明見解析，

（3）菱形，證明見解析．

【解析】

（1）連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，再根據(jù)垂直定義解答；

解：（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

如圖，連結(jié)BD． ∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，

∴EH∥BD，EH= BD，

同理FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

故答案為：平行四邊形．

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形．

理由如下： 如圖，連結(jié)AC、BD．

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD， ∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH是矩形；

故答案為：對(duì)角線互相垂直．

（3）菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形．

理由如下： 如圖，連結(jié)AC、BD． ∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)， ∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∵EH∥BD，HG∥AC，

∴EH⊥HG，

∴平行四邊形EFGH是矩形；

故答案為：菱形．