【題目】感知:
(1)如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,可知△ABP∽△PCD.(不要求證明)
(2)探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,求證:△ABP∽△PCD.
(3)拓展:如圖③,在△ABC中,點P是邊BC的中點,點D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=4 ,CE=3,則DE的長為 .
【答案】
(1)
解:∵∠APD=90°,
∴∠APB+∠DPC=90°,
∵∠B=90°,
∴∠APB+∠BAP=90°,
∴∠BAP=∠DPC,
∵AB∥CD,∠B=90°,
∴∠C=∠B=90°,
∴△ABP∽△DCP
(2)
解:∵∠APC=∠BAP+∠B,∠APC=∠APD+∠CPD,
∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD.
∵∠B=∠APD,
∴∠BAP=∠CPD.
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD
(3)
【解析】(3)解: 拓展:同探究的方法得出,△BDP∽△CPE,
∴ ,
∵點P是邊BC的中點,
∴BP=CP=2 ,
∵CE=3,
∴ ,
∴BD= ,
∵∠B=∠C=45°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°,
即AC⊥BC且AC=BC=4,
∴AD=AB﹣BD= ,AE=AC﹣CE=1,
在Rt△ADE中,DE= = .
故答案是: .
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形,以及對相似三角形的判定的理解,了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應成比例,兩三角形相似(SSS).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△COD是△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形,若點C恰好落在AB上,且∠AOD的度數(shù)為90°,則∠B的度數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在出行中,主動采用能降低二氧化碳排放量的交通方式,謂之“低碳出行”.明明一家積極響應政府“綠色山城,低碳出行”的號召,今年2月﹣5月明明一家減少了駕車出行,他們將2月﹣5月駕車行駛的里程統(tǒng)計后繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖:
(1)扇形統(tǒng)計圖中x= , 并補全折線統(tǒng)計圖;
(2)某中學也積極參與“綠色山城,低碳出行”活動中,決定從4名廣播社骨干成員中(其中兩名男生,兩名女生)選拔兩名同學去演講宣傳,請用畫樹形圖或列表的方法求所選出的兩名同學恰好是一名男生一名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,△A1B1C1和△A2B2C2的頂點都在方格紙的格點上.
(1)求△A1B1C1和△A2B2C2的面積比.
(2)點A1、D、E、F、G、H是△A1B1C1邊上的6個格點,請在這6個格點中選取3個點作為三角形的頂點,使構(gòu)成的三角形與△A2B2C2相似(要求寫出2個符合條件的三角形,并分別在圖1和圖2中將相應三角形涂黑,不必說明理由).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A(﹣2,2),B(﹣3,﹣2)
(1)若點D與點A關(guān)于y軸對稱,則點D的坐標為 .
(2)將點B先向右平移5個單位再向上平移1個單位得到點C,則點C的坐標為 .
(3)求A,B,C,D組成的四邊形ABCD的面積。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我區(qū)兒童公園北門處有一座石拱橋,如圖,石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8cm,拱橋半徑OC為5cm,求水面寬AB為多少米?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明去離家2.4 km的體育館看球賽,進場時,發(fā)現(xiàn)門票還放在家中,此時離比賽還有45 min,于是他立即步行(勻速)回家取票,在家取票用時2 min,取到票后,他馬上騎自行車(勻速)趕往體育館.已知小明騎自行車從家趕往體育館比從體育館步行回家所用時間少20 min,騎自行車的速度是步行速度的3倍.
(1)小明步行的速度是多少?
(2)小明能否在球賽開始前趕到體育館?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD中,將一個直角三角板的直角頂點與點A重合,一條直角邊與邊BC交于點E(點E不與點B和點C重合),另一條直角邊與邊CD的延長線交于點F.
(1)如圖①,求證:AE=AF;
(2)如圖②,此直角三角板有一個角是45°,它的斜邊MN與邊CD交于G,且點G是斜邊MN的中點,連接EG,求證:EG=BE+DG;
(3)在(2)的條件下,如果 = ,那么點G是否一定是邊CD的中點?請說明你的理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在AB、AC上各取一點E、D,使AE=AD,連接BD、CE相交于點O,再連接AO、BC,若∠1=∠2,則圖中全等三角形共有( 。
A. 5對 B. 6對 C. 7對 D. 8對
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