Question

【題目】如圖，線段，為的中點，動點到點的距離是1，連接，線段繞點逆時針旋轉90°得到線段，連接，則線段長度的最大值是（ ）

A.2B.3C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

以M為坐標原點建立坐標系，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F，設點P的坐標為（x，y），則x2＋y2＝1．然后證明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性質得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2x，從而得到點C（x＋y，y＋2x），再由勾股定理可求得AC＝，最后，依據(jù)當y＝1時，AC有最大值求解即可．

解：如圖所示：以M為坐標原點建立坐標系，連接BC，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，過點P作PE⊥DC，垂足為E，延長EP交x軸于點F．

∵AB＝4，M為AB的中點，
∴A（2，0），B（2，0），
設點P的坐標為（x，y），則x2＋y2＝1，
∵∠EPC＋∠BPF＝90°，∠EPC＋∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB，
由旋轉的性質可知：PC＝PB，
在△ECP和△FPB中，

，
∴△ECP≌△FPB（AAS），
∴EC＝PF＝y，EP＝FB＝2x，
∴C（x＋y，y＋2x），

∴AC＝，

∵x2＋y2＝1，
∴AC＝，

∵1≤y≤1，
∴當y＝1時，AC有最大值，AC的最大值為，
故答案為：．